Análisis de funciones

ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de una función real de variable real es $f'(x)=x^2+8x+15$
a) Determínese la expresión de $f(x)$ sabiendo que $f(1)=\dfrac{1}{3}$
b) Determínense los máximos y mínimos locales de $f(x)$, si los tiene

SOLUCIÓN.
a)
Por el primer teorema fundamental del cálculo $$f(x)=\int\,f'(x)\,dx + C$$ luego $$f(x)=\int\,(x^2+8x+15)\,dx+C=\dfrac{1}{3}x^3+4x^2+15x+C$$ Para determinar el valor de la constante de integración $C$ imponemos $f(1)=\dfrac{1}{3}$, con lo cual $$\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\cdot 1^3+4\cdot 1^2+15\cdot 1+C$$ y despejando $C$, llegamos a $C=-19$, por tanto $$f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+4x^2+15x-19$$

b)
La condición necesaria para que $x$ sea un extremo relativo es $f'(x)=0$, luego $$x^2+8x+5=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-8 \pm \sqrt{8^2-5\cdot 1\cdot 5} } {2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-4+\left|\sqrt{11}\right| \\ -4-\left|\sqrt{11}\right| \end{matrix}\right.$$ Así pues hay dos extremos relativos: $x_1=-4+\left|\sqrt{11}\right|$ y $x_2=-4-\left|\sqrt{11}\right|$.

Veamos a continuación su naturaleza; para ello emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada en dichos puntos, $f''(x)=2x+8$.

$f''(-4+\left|\sqrt{11}\right|)=2\,\left|\sqrt{11}\right| \succ 0 \Rightarrow x_1=-4+\left|\sqrt{11}\right|$
  $\, \text{es la abscisa de un mínimo local}$ y su ordenada es $f(-4+\left|\sqrt{11}\right|)=-\dfrac{1}{3}\,(109-8\left|\sqrt{11}\right|) \approx -27,5$

$f''(-4-\left|\sqrt{11}\right|)=-2\,\left|\sqrt{11}\right| \prec 0 \Rightarrow x_1=-4-\left|\sqrt{11}\right|$
  $\, \text{es la abscisa de un máximo local}$ y su ordenada es $f(-4-\left|\sqrt{11}\right|)=-\dfrac{1}{3}\,(109+8\left|\sqrt{11}\right|) \approx -45,2$

Nota: No hay máximo absoluto ni mínimo absoluto, pues al ser la función $f(x)$ polinómica de grado $3$ no está acotada ni superior ni inferiormente.

$\square$