Análisis de funciones. Continuidad. Integración.

ENUNCIADO. Se considera la función real de una variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{2}{x+2} & \text{si} & x\le 0 \\ \\ x+2 & \text{si} & x\succ 0\end{matrix}\right.$$ a) Estúdiese la continuidad de $f(x)$ en $\mathbb{R}$
b) Calcúlese la integral definida $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx$

SOLUCIÓN.
a) El primer tramo de la función es de proporcionalidad inversa, cuya asíntota tiene por ecuación $x=-2$, y el segundo tramo es de tipo lineal afín ( sin puntos de discontinuidad, por tanto ).

Por otra parte, para abscisas mayores que cero, tiene validez el tramo lineal afín y para abscisa cuyo valor sea menor o igual que cero, tiene validez el tramo de proporcionalidad inversa, siendo $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}$

Debemos hacer notar, por tanto, que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\,f(x)=0+2=2$ y que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\,f(x)=\dfrac{2}{0+2}=1$; así pues, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\,f(x) \neq \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\,f(x)$ y por tanto hay una discontinuidad de salto finito en $x=0$, siendo $f(x)$ continua en los demás puntos de $\text{Dom}\,f$

b)
$\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}\,\dfrac{2}{x+2}\,dx=2\,\int_{-1}^{0}\,\dfrac{1}{x+2}\,dx=$

  $=\displaystyle 2\,\left [ \ln\,(x+2)\right ]_{-1}^{0}=2\,(\ln\,(0+2)-\ln\,(-1+2))=2\,(\ln\,2-\ln\,1)=2\,(\ln\,2-0)$
    $=2\,\ln\,2$

$\square$