ENUNCIADO. Considérense las matrices $A=\begin{pmatrix}1&2&-k \\ 1&-2&1 \\ k&2&-1 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 0&2&2 \\ 0&0&3 \end{pmatrix}$
a) Discútase para qué valores del parámetro $k$ la matriz $A$ tiene matriz inversa
b) Determínese, para $k=0$, la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX=B$
SOLUCIÓN.
a) Una matriz cuadrada tiene inversa si y sólo si su determinante es nulo. Impongamos que el determinante de $A$ sea nulo y resolvamos la ecuación resultante; su solución corresponderá a los valores de $k$ para los cuales $A$ no admite matriz inversa:
$$\begin{vmatrix}1&2&-k \\ 1&-2&1 \\ k&2&-1 \end{vmatrix} \Leftrightarrow 2\,(1-k^2)=0 \Leftrightarrow k=\pm1$$ Por lo que podemos afirmar que la matriz $A$ tiene inversa siempre que $k$ sea distinto de $\pm 1$
b) Si $k=0$, entonces $A$ es $\begin{pmatrix}1&2&0 \\ 1&-2&1 \\ 0&2&-1 \end{pmatrix}$. Notemos que si $AX=B$ entonces $X=A^{-1}B$; por tanto, debemos calcular la matriz inversa de $A$ para resolver la ecuación matricial, para lo cual podemos optar por emplear el método de Gauss-Jordan o bien el de la matriz adjunta. Los pormenores de dichos cálculos se han mostrado en muchos ejercicios que el lector puede consultar en este mismo blog [por ejemplo: (1),(2)], así que nos limitaremos a dar la solución, que es la siguiente $$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&1 \\ 1/2&-1/2&-1/2 \\ 1&-1&-2 \end{pmatrix}$$ por tanto $$X=\begin{pmatrix}0&1&1 \\ 1/2&-1/2&-1/2 \\ 1&-1&-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 0&2&2 \\ 0&0&3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2&5 \\ 1/2&-1/2&-2 \\ 1&-1&-7 \end{pmatrix}$$
$\square$
