Análisis de funciones

ENUNCIADO. Se considera la función real de una variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix} a\,x+1 & \text{si} & x\prec -1 \\ x^2+x-2 & \text{si} & x \ge -1\end{matrix}\right.$$ a) Calcúlese el valor del parámetro real $a$ para que $f(x)$ sea una función continua en todo su dominio de definición
b) para $a=-2$, calcúlense los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes cartesianos. Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento

SOLUCIÓN.
a)
El único punto donde puede haber problemas de continuidad es el de abscisa $x=-1$; en el resto, los dos tramos de la función son continuos, por tratarse de polinomios de primer y segundo grado, respectivamente. Procedemos pues a estudiar la continuidad en $x=-1$. Para que la función sea continua en dicho punto debe cumplirse que $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,f(x)$$ esto es $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\,a\,x+1=\lim_{x \rightarrow -1}\,x^2+x-2$$ de donde se ve que $$-a+1=-2$$ así pues para que la función sea continua en $x=-1$ es necesario que $a=3$

b)
Punto de corte con el eje de ordenadas ( sólo puede haber uno ). La abscisa de dicho punto ha de ser $0$, luego, teniendo en cuenta que $0\succ -1$, su ordenada es $f(0)=0^2+0-2=-2$; en consecuencia el punto pedido es $C(0,-2)$

Puntos de corte con el eje de abscisas. La ordenada de dichos puntos ha de ser $0$, por tanto sus abscisas tienen que satisfacer las ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}0=-2x+1 & \text{para} & x\prec -1 \\ 0=x^2+x-2 & \text{para} & x\ge -1 \end{matrix}\right.$$ De la primera se obtiene el valor $x=\dfrac{1}{2} \succ -1$, que, no nos sirve, por tener que ser menor que $-1$; y, de la segunda ( resolviendo la ecuación cuadrática ), se obtienen dos valores: $x=1 \succ -1$ ( y, por tanto, és valido ) y $x=-2$, que, por ser menor que $-1$, no nos sirve. Así pues, hay un único punto de corte con el eje de abscisas, que es $A(1,0)$

Extremos relativos. El primer tramo de función no los tiene, por ser polinómico de primer grado; en cuanto al segundo tramo, que es polinómico de sendo grado ( parábola ), sólo puede corresponder al vértice de la misma, cuya abscisa es $x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}$, que, es mayor que $-1$ y por tanto lo aceptamos como perteneciente a este segundo tramo. Ésta abscisa corresponde a un mínimo local, pues el coeficiente del término de grado dos es $1$, que es positivo. A la izquierda de un mínimo local, la función decrece; y, a la derecha, crece.

Nota: Otra forma de encontrar ese extremo relativo ( que tiene abscisa $-1/2$), consiste en utilizar el procedimiento estándard: en todo extremo relativo la primera derivada del segundo tramo es $y'=2x+1$; igualando a cero, como condición necesaria de extremo relativo, obtenemos $x^*=-1/2$ ( que es la abscisa del vértice de la parábola que comentábamos arriba ), y, ha de corresponder a un mínimo local, pues por el criterio del signo de la segunda derivada en las abscisas de los extremos relativos, vemos que, siendo $y''=2 \succ 0$ para todo valor de $x$, y, desde luego, para $x^=-1/2$, éste corresponde a un mínimo local.

De todo ello concluimos que los intervalos en los que la función decrece son $I_{1}^{\downarrow}=(-\infty\,,\,-1)$ e $I_{2}^{\downarrow}=(-1/2\,,\,+\infty)$; y, el intervalo en la que función crece ( sólo hay uno ) es $I_{3}^{\uparrow}=(-1\,,\,-1/2)$

$\square$