Análisis de funciones. Integración y cálculo de áreas

ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $$f(x)=x^2+a\,x$$
a) Calcúlese el valor del parámetro real $a$ para que la función $f(x)$ tenga un extremo relativo en $x=2$. Determínese si se trata de un máximo local o bien de un mínimo local.
b) Para $a=-2$, hállese el área del recinto acotado por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x=0$ y $x=2$

SOLUCIÓN.
a) La condición necesaria de extremo relativo en $x=2$ es $f'(2)=0$ y, como $f'(x)=2x+a$, ésta se concreta en la ecuación $2\cdot 2+a=0$, cuya solución es $a=-4$. Teniendo en cuenta ahora que $f''(x)=2 \succ 0$, concluimos que $x^*=2$ es la abscisa de un mínimo local, para $a=-4$

b) Si $a:=-2$, la función a integrar es $f(x)=x^2-2x$. Para $0\prec x \prec 2$ los valores de función son negativos -- $0$ y $2$ son las raíces de la función cuadrática $f(x)$, cuya gráfica es una parábola --, por tanto el área pedida es igual a
$\displaystyle \left| \int_{0}^{2}\,(x^2-2x)\,dx\right|\overset{(1)\,(2)}{=}|F(2)-F(0)|=$
  $\displaystyle=\left|\left(\dfrac{1}{3}\cdot 2^3-2^2\right)-0\right|=\left|-\dfrac{4}{3}\right|=\dfrac{4}{3}\;\text{unidades arbitrarias de área}$

Aclaraciones:
(1) Cálculo de una primitiva de la función integrando. $\displaystyle \int\,(x^2-2x)\,dx=\dfrac{1}{3}\,x^3-x^2+C$; dando un valor cualquiera a $C$, por ejemplo $C:=0$, una función primitiva de $x^2-2x$ es $\dfrac{1}{3}\,x^3-x^2$
(2) Aplicación de la regla de Barrow

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