Cálculo de probabilidades y estadística. Estimación por intervalos de confianza

ENUNCIADO. La masa, en gramos, de la bandeja de salmón crudo que se vende en una pescadería, se puede aproximar por una variable aleatoria aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=25$ gramos. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de $10$ bandejas.
a) Si la media muestral de las masas ha sido $\bar{x}=505$ gramos, calcúlese un intervalo de confianza al $99\,\%$ para la media poblacional $\mu$
b) Supóngase ahora que $\mu=500$ gramos. Calcúlese la probabilidad de que la masa total de esas $10$ bandejas sea mayor o igual a $5030$ gramos.

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria de la población "masa de una bandeja". Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,25)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=505$ gramos y $E$ es el máximo error cometido en la estimación, que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y cuyo valor vamos a calcular a continuación: como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'99$, $\alpha=0'01$ y por tanto $\alpha/2=0'005$; entonces $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'005=0'995$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa $z_{\alpha/2} \approx 2'57$

Así, $E=2'57 \cdot \dfrac{25}{\sqrt{10}} \approx 20'32$. Y, por consiguiente, el intervalo de confianza pedido para la media de la población es $(505-20'32\,,\,505+20'32)$ esto es $(484'68\,,\,525'32)$, intervalo que, en buena lógica, podemos aproximar a $(485\;,\;525)$ gramos.

b)
Partimos ahora del siguiente dato: $\mu=500$ gramos. Por el teorema Central del Límite, la variable $\bar{X}=\dfrac{X_1+\ldots+X_n}{n}$ sigue una distribución $N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, con lo cual la variable aleatoria $Y:=X_1+\ldots+X_n$ sigue una distribución $N(n\cdot \mu\,,\,\sigma\cdot \sqrt{n}$. En el caso que nos ocupa, $n=10$, y deseamos calcular $P\{Y \ge 5030\}$. Tipificando la variable $Y$ mediante la transformación $Z=\dfrac{Y-10\cdot 500}{25\,\sqrt{10}}$, donde $Z:N(0,1)$. Así,
$P\{Y \ge 5030\}=P\{Z \ge \dfrac{5030-500}{25\,\sqrt{10}}\}=P\{Z \ge 0'3795\}=$
$=1-P\{Z\le 0'3795\} \quad \quad (1)$
En las tablas de la distribución de probabilidad de $Z:N(0,1)$ encontramos que $F(0'37)=0'6443$ y $F(0'38)=0'6480$; no leemos exactamente $F(0,8660)$, por lo que procedemos a interpolar linealmente en el intervalo $(0'37\,,\,0'38)$ para calcular el valor aproximado de $F(0'3795)$; así, $$F(0'3795) \approx (0'6480-0'6443)\cdot \dfrac{0,3795-0,38}{0,38-0,37}+0'6480=0'6478$$
por consiguiente, sustituyendo en (1), encontramos la probabilidad pedida: $1-0'6478=0'3522 \approx 35\,\%$
$\square$