Cálculo de probabilidades. Teoremas de la probabilidad total. Teorema de Bayes.

ENUNCIADO. Una empresa de reparto de paquetería clasifica sus furgonetas en función de su antigüedad. El $25\,\%$ de sus furgonetas tiene menos de dos años de antigüedad, el $40\,\%$ tiene una antigüedad de entre dos y cuatro años, y el resto tiene una antigüedad superior a cuatro años. La probabilidad de que una furgoneta se estropee es $0'01$ si tiene una antigüedad inferior a dos años; $0'05$ si tiene una antigüedad de entre dos y cuatro años, y $0'12$ si tiene una antigüedad superior a cuatro años. Se escoge una furgoneta al azar de esta empresa. Calcúlese la probabilidad de que la furgoneta escogida:
a) Se estropee
b) Tenga una antigüedad superior a cuatro años, sabiendo que no se ha estropeado

SOLUCIÓN.
a)
Al escoger una furgoneta al azar, denotemos por:
  $A$ al suceso "tener una antigüedad de menos de 2 años"
  $B$ al suceso "tener una antigüedad de entre 2 y 4 años"
  $C$ al suceso "tener una antigüedad de más de 4 años"
  $D$ al suceso "tener una avería"

Tendremos en cuenta los siguientes datos:
  $P(A)=0,25=\dfrac{1}{4}$
  $P(B)=0,4=\dfrac{2}{5}$
  $P(C)=1-(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{5})=\dfrac{7}{20}$

  $P(D|A)=0,01=\dfrac{1}{100}$
  $P(D|B)=0,05=\dfrac{1}{20}$
  $P(D|C)=0,12=\dfrac{3}{25}$

Tengamos en cuenta que $$D=(D\cap A) \cup (D\cap B) \cup (D\cap C)$$ y como $$(D\cap A) \cap (D\cap B)=(D\cap A) \cap (D\cap C)=(D\cap B) \cap (D\cap C)=\emptyset$$ los tres sucesos son incompatibles y, por tanto, $$P(D)=P(D\cap A)+P(D\cap B)+P(D\cap C)$$ Teniendo en cuenta ahora la fórmula de la probabilidad condicionada, podemos escribir la fórmula de la probabilidad total $$P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)$$ y, con los datos del problema, obtenemos $$P(D)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{100}+\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{20}+\dfrac{7}{20}\cdot \dfrac{3}{25}=\dfrac{129}{2000}=0,0645$$

b)
Se nos pide ahora que calculemos $P(C|\bar{D})$. Notemos que, desde luego, $P(C\cap \bar{D})=P(\bar{D} \cap C)$ y por tanto $P(C|\bar{D})P(\bar{D})=P(\bar{D}|C)P(C)$; así que, despejando, llegamos a $$P(C|\bar{D})=\dfrac{P(\bar{D}|C)P(C)}{P(\bar{D})}$$ que podemos escribir de la forma $$\dfrac{1-P(D|C)P(C)}{1-P(D)}$$ Y, con los datos, llegamos al siguiente resultado $$P(C|\bar{D})=\dfrac{(1-\dfrac{3}{25})\cdot \dfrac{7}{20}}{1-\dfrac{129}{2000}}=\dfrac{616}{1871}\approx 0,3292$$

$\square$