En una investigación ...

ENUNCIADO. En una investigación de un delito de fraude se observa (en el lugar de los hechos) que: la evidencia $A$ aparece en una proporción del $60\,\%$; la evidencia $B$, habiéndose dado la evidencia $A$, aparece en una proporción del $80\,\%$; y, no habiéndose dado la evidencia $A$, la evidencia $B$ se observa en un $40\,\%$. Se pide:

a) ¿ En qué proporción aparece $B$ ?
b) ¿ En qué proporción no aparece ninguna de dichas evidencias
c) No habiendo observado la evidencia $B$, ¿ en qué proporción no aparece la evidencia $A$ ?
d) ¿ En qué proporción aparece una sola de las dos evidencias ?
e) ¿ En qué proporción aparece alguna de las dos evidencias ?

SOLUCIÓN.
Los datos del problema son:
$P(A)=0,6$
$P(B|A)=0,8$
$P(B|\bar{A})=0,4$

Emplearemos: la fórmula de la probabilidad condicionada; el teorema de la probabilidad total, y algunas de las propiedades con sucesos.

a)
$P(B)=P(B|A)\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{B})$
  $=0,8\cdot 0,6+0,4\cdot (1-0,6)$
    $=0,64=64\,\%$

b)
$P(\bar{A} \cap \bar{B})=P(\bar{B} \cap \bar{A})=P(\bar{B}|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
  $=(1-P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
    $=(1-0,4)\cdot (1-0,6)$
      $=0,24=24\,\%$

c)
$P(\bar{A} | \bar{B})=\dfrac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$
  $=\dfrac{P(\bar{B} \cap \bar{A})}{1-P(B)}$
    $=\dfrac{0,24}{1-0,64}$
      $=\dfrac{2}{3}\approx 67\,\%$

d)
$P((A\cap \bar{B}) \cup ( \bar{A} \cap B))=P(A-B)+P(B-A)$
  $=P(\bar{B}\cap A)+P(\bar{A} \cap B)$
  $=P(\bar{B}\cap A)+P(B \cap \bar{A})$
    $=P(\bar{B}|A)\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
      $=(1-P(B|A))\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot (1-P(A)$
        $=(1-0,8)\cdot 0,6+0,4\cdot (1-0,6)$
          $=0,28=28\,\%$

e)
$P(A \cup B)=1-P(\bar{A} \cap \bar{B})$
  $=1-0,24$
    $=0,76=76\,\%$

$\square$