función logística

[representación gráfica interactiva]

[nota del autor]

Cálculo de límites resolviendo indeterminaciones del tipo $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ empleando la regla de l'Hôpital

(a)
    Enunciado:
Calcular el valor del siguiente límite
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})^2}{(x-\frac{\pi}{2})^2}$

Resolución:
Por las propiedades elementales del cálculo de límites de las funciones continuas podemos escribir dicho límite de la forma

$\displaystyle \Bigg(\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})}\Bigg)^2$

Calculemos, por tanto, el límite de la base de la potencia

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})}$

al intentar pasar al límite encontramos una indeterminación del tipo

$\frac{0}{0}$

Para resolver dicha indeterminación, haremos uso de la regla de l'Hôpital, pues tanto el numerador como el denominador son infinitésimos, és decir, tienden a cero al pasar al límite

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})} =\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})'}{(x-\frac{\pi}{2})'}$


Con lo cual, derivando (numerador y denominador):

$\big(\cos{x}\big)'=-\sin{x}$

$\big(x-\frac{\pi}{2}\big)'=1$

y, por tanto, el límite anterior es igual a

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, (-\sin{x})=-1$

Finalmente,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})^2}{(x-\frac{\pi}{2})^2} = (-1)^2 = 1$

$\square$

(b)
    Enunciado:

Calcular el valor del siguiente límite
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{3^x-2^x}{x}$

Resolución:
Oservemos que, si pasamos al límite, obtenemos una indeterminación del tipo

$\dfrac{0}{0}$

Para resolverla, podemos emplear la regla de l'Hôpital, puesto que tanto el numerador como el denominador del argumento del límite són infinitésimos

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{3^x-2^x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{(3^x-2^x)'}{(x)'} \quad \quad (1)$

expresaremos, por tanto, las exponenciales en base común $e$, con el objeto de calcular las derivadas:

$3^x=e^{x\,\ln{3}}$

$2^x=e^{x\,\ln{2}}$

calculemos las derivadas de las expresiones del numerador y del denominador:

$(3^x-2^x)'=(\ln{3})\,e^{x\,\ln{3}}-(\ln{2})\,e^{x\,\ln{2}}$

$(x)'=1$

y aplicando la regla de l'Hôpital (1)

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{3^x-2^x}{x} =\lim_{x \rightarrow 0} \, \big((\ln{3})\,e^{x\,\ln{3}}-(\ln{2})\,e^{x\,\ln{2}}\big)$

que es igual a

$\displaystyle \ln{3}\,\Big( \lim_{x \rightarrow 0} \, \big(e^{x\,\ln{3}}\big)\Big) - \ln{2}\, \Big(\lim_{x \rightarrow 0} \, \big(e^{x\,\ln{2}}\big)\Big)=\ln{3}-\ln{2}$

$\square$

[nota del autor]

Calcular $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)}{x}$

Enunciado:
Calcular $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)}{x}$
Resolución:
Al pasar al límite, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)}{x}$, obtenemos una indeterminación del tipo $\dfrac{0}{0}$; sin embargo, sabemos que la función $y=\sin(x)$ puede sustituirse por la función $y=x$ para valores muy pequeños de $x$, por ser infinitésimos equivalentes, luego $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x}{x}=1$
Comprobación: ( GeoGebra )

Observación:   Lo mismo ocurre con $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x}{\sin(x)}$, también es igual a $1$, por el mismo razonamiento.

$\blacksquare$

[nota del autor]

Demostrar que no existen los límites $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm\infty}\,\dfrac{x}{\sin(x)}$

Enunciado:
Demostrar que no existen los límites $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm\infty}\,\dfrac{x}{\sin(x)}$
Resolución:
La función del denominador es acotada, $-1\le \sin(x) \le 1$, sin embargo toma valores positivos y negativos de forma alterna y la función del numerador, que es $x$, tiende a infinito, luego el cociente tiende a $\pm \infty$ de forma alterna, es decir, no existe ni el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{x}{\sin(x)}$ ni el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{x}{\sin(x)}$

Comprobación: ( GeoGebra )

$\blacksquare$

[nota del autor]

Discontinuidades en la función piso ( función parte entera )

La función piso ( suelo o parte entera ) asigna a un número real, $x$, el mayor número entero menor o igual que $x$ y denotaremos por piso$(x)$. Por ejemplo: piso$(-2'6)=-3$ ( o $[-2'6]=-3$ ), piso$(4'1)=4$ ( o $[4'1]=4$ ), etcétera. En las calculadoras, programas de cálculo y lenguajes de programación corresponde a la instrucción $\text{floor}\,(\square)$; por ejemplo, para calcular piso$(-2'6)$ o $[-2'6]$ ( donde hemos utilizado aquí la tilde en lugar de la coma habitual para no confundirnos con la notación de intervalo ), tecleamos $\text{floor:}\,(-2.6)$ ( en la mayor parte de los programas se utiliza el símbolo punto para designar la coma decimal, 'decimal point' ), obteniendo el valor $-3$.

Para representar gráficamente la función $f(x)=$piso$(x)$ ( o $f(x)=[x]$ ), empleando alguna herramienta matemática, como por ejemplo MAXIMA, GeoGebra o bien una calculadora gráfica, escribiremos en la línea de entrada: $f(x)=\text{floor}\,(x)$.


Observando el gráfico se realza lo siguiente: la función piso ( o parte entera ) es discontinua ( discontinuidad de salto finito ) en infinitos puntos; éstos son los infinitos números enteros.

Nota:
Hay que tener en cuenta que en el lenguaje de programación C, la función "parte entera" se define de manera un tanto distinta, truncando las funciones piso y suelo [ véase este artículo de Wikipedia para ahondar un poco más en ello ], tal como se muestra en esta imagen ( función definida a trozos ). La instrucción utilizada, en C, es $\text{int}(número real)$

$\square$

Demostrar que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm\infty}\,\dfrac{\sin(x)}{x}=0$

Enunciado:
Demostrar que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm\infty}\,\dfrac{\sin(x)}{x}=0$
Resolución:
La función del numerador está acotada, $-1\le \sin(x) \le 1$, mientras que la función del denominador, $x$, tiende a infinito, luego el cociente tiende a $0$

Comprobación: ( GeoGebra )

$\blacksquare$

[nota del autor]

Sea la función $f(x)=2\,x^3-6\,x+1$. Se pide: a) Demostrar que $f(x)$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $(0\,,\,1)\subset \mathbb{R}$ b) Demostrar que $f(x)$ tiene una única raíz en el intervalo $(0\,,\,1)\subset \mathbb{R}$

Enunciado:
Sea la función $f(x)=2\,x^3-6\,x+1$. Se pide:
  a) Demostrar que $f(x)$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $(0\,,\,1)\subset \mathbb{R}$
  b) Demostrar que $f(x)$ tiene una única raíz en el intervalo $(0\,,\,1)\subset \mathbb{R}$

Resolución:
a)
La función $f(x)$ es una f. polinómica y por tanto es continua en $[0\,,\,1]$ y derivable en $(0\,,\,1)$. Habiendo un cambio de signo en los valores de dicha función en los extremos de la misma ( en efecto: $f(0)=1 \succ 0$ y $f(1)=-3 \prec 0$ ), según el Teorema de Bolzano, tiene que tener por lo menos una raíz en el intervalo $(0\,,\,1)$.

b)
Vamos a demostrar que solamente hay una raíz de $f(x)$ en el intervalo $(0\,,\,1)\subset \mathbb{R}$; para ello, recurriremos al método de reducción al absurdo: supongamos que haya dos raíces, $r_1$ y $r_2$, entonces $f(r_1)=f(r_2)$ ( el valor de la función en dichos puntos es $0$ ), luego por el Teorema de Rolle, debería haber por lo menos un valor de $x$, tal que $0 \prec x \prec 1 $, tal que $f'(x)=0$. Veamos, pues, si la función derivada $f'(x)$ se anula para algún valor en dicho intervalo $(0\,,\,1)$: $f'(x)=6\,x^2-6=0 \Leftrightarrow x=\pm 1$, luego como $-1 \notin (0\,,\,1)$ y $1 \notin (0\,,\,1)$, llegamos a una contradicción con lo supuesto al principio de nuestro razonamiento, luego queda demostrado que no hay más de una raíz en el intervalo $(0\,,\,1)$.

Comprobación ( con GeoGebra ):

$\blacksquare$

[nota del autor]

Ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en un punto de abscisa dada $x=x_p$

Ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en un punto de abscisa dada $x=x_p$

Sea la función $f(x)$ y un punto de abscisa $x=x_P$. Nos proponemos encontrar la ecuación de la recta tangente, $r$, a la curva $\mathcal{C}:y=f(x)$ en $x=x_P$.

Sabemos que la pendiente, $m$, de la recta secante $r$ viene dada por el valor de la derivada de la función $f$ en el punto dado, esto es $m=f'(x_P)$, luego la ecuación de $r$, en su forma explicita, es $r:y=m\,x+k$, siendo $k$ la ordenada en el origen de la misma; esto es, la función lineal afín que describe dicha recta es
$l(x)=f'(x_P)\,x+k$

Queda por determinar el valor de la ordenada en el origen, $k$. Veamos: como $l(x_P)=f'(x_P)\,x_P+k$ es igual $f(x_P)$, podemos escribir: $f(x_P)=f'(x_P)\,x_P+k$, luego, despejando $k$, obtenemos $k=f(x_P)-f'(x_P)\,x_P$

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa $x_P$ a la curva $f(x)$ viene dada por
$$l(x)=x\,f'(x_P)+f(x_P)-x_{P}\,f'(x_P)$$

Entonces, para valores cercanos a $x_P$, podemos tomar la ordenada $l(x_P)$ como aproximación de $f(x_P)$, esto es $l(x) \approx f(x)$ en la medida que $x \approx x_P$. Por ello, decimos que $l(x)$ ( función lineal afín que corresponden a la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto $x=x_P$ ) aproxima linealmente a $f(x)$ en la vecindad de $x=x_P$

Ejemplo:
  Enunciado:   Encontrar la ecuación de la recta tangente a $f(x)=x^3$ en el punto de abscisa $x=2$
  Resolución:   $f'(x)=3\,x^2$, luego $f'(2)=3\cdot 2^2=12$ y $f(2)=2^3=8$, por tanto $l(x)=12\,x+8-2\cdot 12$, es decir, la recta tangente a la curva $y=x^3$ en el el punto de abscisa $x=2$ es
$r:\,y=12\,x+16$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Aplicación directa de la definición de derivada de una función en un punto

Enunciado:
Calcular el valor de la derivada de la función $y=x^2$ en el punto de abscisa $x=3$, aplicando directamente la definición de derivada de una función en un punto, es decir, sin usar las reglas de derivación que, precisamente, se deducen para un punto genérico y con las cuales podemos derivar de manera rápida y eficaz.

Resolución:
De la definición de derivada de una función en un punto dado $P$, de abscisa $x_P$, podemos escribir:
$f'(3)=\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{(3+\Delta x)^2-3^2}{\Delta x}$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{3^2+2\cdot 3\,\Delta x-(\Delta x)^2}{\Delta x}$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{ 6\,\Delta x-(\Delta x)^2}{\Delta x}$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\Delta x \big(\dfrac{ 6\,-\Delta x}{\Delta x}\big)$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta x}{\Delta x}\, (6\,-\Delta x)$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, 1 \cdot ( 6\,-\Delta x)$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, ( 6\,-\Delta x)$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, 6-\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \Delta x$

  $\displaystyle=6-0$

  $\displaystyle=6$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calculo de la tasa de variación instantánea de una función en un punto dado:

Calculo de la tasa de variación instantánea de una función en un punto dado:

Al ser la tasa de variación instantánea de la función, $\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0 }\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ en un punto de abscisa dada, $x$, (1), el valor de la derivada de dicha función para dicho valor de la abscisa, calculamos, primero, la función derivada, $f'(x)$, ( a partir de las reglas de derivación ), y, a continuación, sustituimos el símbolo de la variable independiente de dicha función por el valor dado de la abscisa (2).

Ejemplo 1:
  Enunciado:
      Calcular la tasa de variación instantánea de la función $f(x)=x^2$ en el punto de abscisa $x=3$, esto es el valor de la derivada de la función $f(x)$ en $x=3$, es decir, el valor de la función derivada $f'(x)$ para $x=3$.

  Resolución:
      Siendo $f'(x)=2\,x$, obtenemos $f'(3)=2\cdot 3 = 6 \succ 0 \Rightarrow $ la función $f(x)$ es creciente en el punto $(3\,,\,f(3))$.

---
Nota 1: ( Significado geométrico de la derivada de una función en un punto de abscisa dada ):
La tasa de variación instantánea ( de la variable dependiente $y$ respecto de la variable independiente $x$ ) de una función, $y=f(x)$, en un punto $P$ representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva ( de ecuación $y=f(x)$ ) en el punto dado, esto es, el valor de la función derivada de la función $f(x)$ en $x=x_P$, esto es el valor de $f'(x_P)$).

Nota 2:   Recordemos que el valor de la derivada de la función en un punto ( la tasa instantánea de variación de la función en un cierto punto ) nos informa de si la función crece o decrece: si el valor de la derivada es negativo, la función decrece; si es positivo, la función crece, y si es cero, la función no crece ni decrece en dicho punto: es un punto estacionario; además, el valor absoluto del valor de la derivada proporciona una medida de la rapidez con que crece/decrece la función en dicho punto: cuanto mayor sea el valor absoluto de la derivada de la función en el punto dado, con mayor rapidez crece/decrece.

---

Ejemplo 2:
  Enunciado:
      Encontrar los valores de $x$ para los cuales la función cuadrática $f(x)=x^2-5x+6$ no crece ni decrece, esto es, encontrar las abscisas de los puntos estacionarios y decir las coordenadas del punto correspondiente de la curva $y=f(x)$

  Resolución:
      Siendo la función derivada $f'(x)=2\,x-5$, encontramos solamente un valor de $x$ para el cual el valor de la función derivada ( el valor de la tasa instantánea de variación ) es cero: $x=5/2$; en efecto, al igualar a cero la derivada: $0=2\,x-5$, obtenemos dicho valor como solución de la ecuación), luego en el punto de coordenadas $(5/2\,,f(5/2))$ la función es estacionaria.

Reconocemos en la ecuación de la función dada, el trazo de una parábola, luego el punto estacionario corresponde al vértice de la parábola, que es, en este caso, un mínimo local y también el mínimo absoluto de la función.

$\blacksquare$

[nota del autor]

Derivada de la función recíproca de la función tangente

Derivada de la función recíproca de la función tangente:

Dada la función coseno, $f(x)=\cos(x)$, en principio definida de $\mathbb{R}$ ( es decir en $(-\infty\,,\,+\infty)\equiv \mathbb{R}$ ) sobre $(-\infty\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$, al ser periódica, no es inyectiva, luego no posee función recíproca, por lo cual debemos ajustar su dominio de existencia con el fin de partir de una función directa inyectiva y, así, poder hablar de su función recíproca. Además, la función tangente es discontinua en los infinitos valores de $x$ del tipo $\dfrac{2n+1}{2}\,\pi \quad \text{para} \,n\in \mathbb{Z}$ y, por tanto, no es derivable en los mismos. Volvamos, pues, a definir su dominio de existencia de la siguiente manera: $$(-\pi/2\,,\pi/2)\subset \mathbb{R} \overset{f}{\longrightarrow} (-\infty\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$$
$$x \mapsto f(x)=\tan(x)$$
Ahora, al ser, ahora, la función directa una función inyectiva y continua, la función recíproca existe y es derivable en todos los puntos; es la siguiente ( Nota: expresaremos el valor de los ángulos en radianes ):
$$(-\infty\,,+\infty) \equiv \mathbb{R} \overset{f^{-1}}{\longrightarrow} (-\pi/2\,,\pi/2) \subset \mathbb{R}$$
$$x \mapsto f^{-1}(x)=\arccos(x)$$
( la figura lo ilustra )

Procedamos, pues, a derivar la función recíproca; para ello, y por comodidad en los pasos que siguen, vamos a notar la función directa $f(x)=\tan(x)$ de la forma $y_x=\tan(x)$, con lo cual, la función recíproca la denotaremos por $x_y$ ( la variable independiente de la directa hace el papel, ahora, de variable dependiente, y, viceversa ). Recordemos, también, la propiedad fundamental que dedujimos para poder obtener la derivada de la función recíproca de una función inyectiva dada: $$x'_y=\dfrac{1}{y'_x}$$

Entonces, $x'_y\overset{(1)}{=}\dfrac{1}{1/\cos^2{x}}\overset{(2)}{=}\dfrac{1}{1+\tan^2(x)}=\dfrac{1}{1+y^2}$. Finalmente, en lugar de notar la función recíproca de la forma $x_y=\dfrac{1}{1+y^2}$, volvemos a notar por $x$ la variable independiente ( como es habitual ) y a notar la función recíproca de $f(x)$ por $f^{-1}(x)$. En resumen: $(f^{-1}(x))^{'}=\dfrac{1}{1+x^2}$ para $x\in (-\infty\,,\,+\infty) \equiv \mathbb{R}$

---
Nota 1:
Recordemos que siendo $y_x=\tan(x)$, entonces $y'_x=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$

Nota 2:
De la identidad fundamental de la trigonometría, $\sin^2 x +\cos^2 x = 1$, dividiendo ambos miembros por $\cos^2 x$, obtenemos: $\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+ \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=\dfrac{1}{\cos^2 x}$, esto es, $\dfrac{1}{\cos^2 x}= \tan^2 x + 1$
---
$\blacksquare$

[nota del autor]

Derivada de la función recíproca de la función coseno

Derivada de la función recíproca de la función coseno:

Dada la función coseno, $f(x)=\cos(x)$, en principio definida de $\mathbb{R}$ sobre $[-1,1]\subset \mathbb{R}$, al ser periódica, no es inyectiva, luego no posee función recíproca, por lo cual debemos ajustar su dominio de existencia con el fin de partir de una función directa inyectiva y, así, poder hablar de su función recíproca. Volvamos, pues, a definir su dominio de existencia de la siguiente manera: $$[0\,,\pi]\subset \mathbb{R} \overset{f}{\longrightarrow} [-1\,,\,1] \subset \mathbb{R}$$
$$x \mapsto f(x)=\cos(x)$$
Ahora, al ser, ahora, la función directa una función inyectiva, la función recíproca existe y es la siguiente ( Nota: expresaremos el valor de los ángulos en radianes ):
$$[-1\,,1]\subset \mathbb{R} \overset{f^{-1}}{\longrightarrow} [0\,,\pi] \subset \mathbb{R}$$
$$x \mapsto f^{-1}(x)=\arccos(x)$$
( la figura lo ilustra )

Procedamos, pues, a derivar la función recíproca; para ello, y por comodidad en los pasos que siguen, vamos a notar la función directa $f(x)=\cos(x)$ de la forma $y_x=\cos(x)$, con lo cual, la función recíproca la denotaremos por $x_y$ ( la variable independiente de la directa hace el papel, ahora, de variable dependiente, y, viceversa ). Recordemos, también, la propiedad fundamental que dedujimos para poder obtener la derivada de la función recíproca de una función inyectiva dada: $$x'_y=\dfrac{1}{y'_x}$$

Entonces, $x'_y\overset{(1)}{=}\dfrac{1}{-\sin(x)}=\dfrac{1}{-\sqrt{1-\cos^2{x}}}=\dfrac{1}{-\sqrt{1-y^2}}$. Finalmente, en lugar de notar la función recíproca de la forma $x_y=\dfrac{1}{-\sqrt{1-y^2}}$, volvemos a notar por $x$ la variable independiente ( como es habitual ) y a notar la función recíproca de $f(x)$ por $f^{-1}(x)$. En resumen: $(f^{-1}(x))^{'}=\dfrac{1}{-\sqrt{1-x^2}}$ para $x\in [-1\,,\,1]\subset \mathbb{R}$

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Nota 1:
Siendo $y_x=\cos(x)$, entonces $y'_x=-\sin(x)$
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$\blacksquare$

[nota del autor]

Derivada de la función recíproca de la función seno

Derivada de la función recíproca de la función seno:

Dada la función seno, $f(x)=\sin(x)$, en principio definida de $\mathbb{R}$ sobre $[-1,1]\subset \mathbb{R}$, al ser periódica, no es inyectiva, luego no posee función recíproca, por lo cual debemos ajustar su dominio de existencia con el fin de partir de una función directa inyectiva y, así, poder hablar de su función recíproca. Volvamos, pues, a definir su dominio de existencia de la siguiente manera: $$[-\pi\,,\pi]\subset \mathbb{R} \overset{f}{\longrightarrow} [-1\,,\,1] \subset \mathbb{R}$$
$$x \mapsto f(x)=\sin(x)$$
Ahora sí podemos hablar ya de función recíproca de la función seno ( Nota: expresaremos el valor de los ángulos en radianes ):
$$[-1\,,1]\subset \mathbb{R} \overset{f^{-1}}{\longrightarrow} [-\pi\,,\pi] \subset \mathbb{R}$$
$$x \mapsto f^{-1}(x)=\arcsin(x)$$
( la siguiente figura lo ilustra )

Procedamos, pues, a derivar la función recíproca; para ello, y por comodidad en los pasos que siguen, vamos a notar la función directa $f(x)=\sin(x)$ de la forma $y_x=\sin(x)$, con lo cual, la función recíproca la denotaremos por $x_y$ ( la variable independiente de la directa hace el papel, ahora, de variable dependiente, y, viceversa ). Recordemos, también, la propiedad fundamental que dedujimos para poder obtener la derivada de la función recíproca de una función inyectiva dada: $$x'_y=\dfrac{1}{y'_x}$$

Entonces, $x'_y\overset{=}{1}\dfrac{1}{\cos(x)}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2{x}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}$. Finalmente, en lugar de notar la función recíproca de la forma $x_y=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}$, volvemos a notar por $x$ la variable independiente ( como es habitual ) y a notar la función recíproca de $f(x)$ por $f^{-1}(x)$. En resumen: $(f^{-1}(x))^{'}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ para $x\in [-1\,,\,1]\subset \mathbb{R}$

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Nota 1:
Recordemos que siendo $y_x=\sin(x)$, entonces $y'_x=\cos(x)$
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$\blacksquare$

[nota del autor]

Derivada de la función $\tan(x)$

Derivada de la función $\tan(x)$:

Por definición, $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$, luego la derivada pedida pasa por determinar la derivada de una función cociente, cuya regla de derivación ya conocemos, así como conocemos, también, las derivadas de las funciones seno y coseno, que son $\cos(x)$ y $-\sin(x)$, respectivamente.

Por lo tanto, podemos escribir que
$$(\tan(x))'=\dfrac{(\sin(x))'\,\cos(x)-\sin(x)\,(\cos(x))'}{(\cos(x))^2}$$
es decir
$$(\tan(x)')=\dfrac{\cos(x)\cdot \cos(x)-\sin(x)\,(-\sin(x))}{(\cos(x))^2}=\dfrac{(\cos(x))^2+(\sin(x))^2}{(\cos(x))^2}$$
y teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría - esto es: $(\cos(x))^2+(\sin(x))^2=1$ para todo valor del ángulo $x$ - nos queda
$$(\tan(x)')=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$$
donde, por comodidad, expresamos el coseno al cuadrado de $x$ como $\cos^2(x)$.

En caso de que el argumento de la función tangente no dependa directamente de $x$, deberemos utilizar la ya conocida regla de la cadena, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:
  Enunciado: Derivar la función $y=\tan(x^2)$
  Resolución:       Denotemos por $t_x$ la función $x^2$, entonces, por la regla de la cadena: $y'_x = y'_{t}\,t'_x$; como $y'_t=\dfrac{1}{\cos^2(x^2)}$ y $t'_x=2\,x$, llegamos a
$$y'=\dfrac{2\,x}{\cos^{2}(x^2)}$$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Derivada de la función $\cos(x)$

Derivada de la función $\cos(x)$:

De la definción de derivada
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$
podemos escribir
$\displaystyle (\cos(x))'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\cos(x+\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x}$
utilizando la fórmula del coseno del ángulo suma, queda
$$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \,\dfrac{\cos(x)\,\cos(\Delta x)-\sin(x)\,\sin(\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x}$$
y sacando factor común, lo podemos expresar de la forma
$$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(x)\big(\cos(\Delta x)-1)\big)-\sin(x)\,\sin(\Delta x)}{\Delta x}$$
luego, por las propiedades de los límites,
$$y'=\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(x)\big(\cos(\Delta x)-1)\big)}{\Delta x}-\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)\,\sin(\Delta x)}{\Delta x}$$
y al no depender de $\Delta x$ ni $\sin(x)$ ni $\cos(x)$ llegamos a
$$y'=\displaystyle \cos(x)\, \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta x)-1}{\Delta x}-\sin(x)\,\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}$$
Observemos, ahora que:
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}=1$, pues $\sin(\Delta x) \sim \Delta x$ cuando $\Delta x \rightarrow 0$;
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta x)-1}{\Delta x}=0$, ya que el factor $\cos(\Delta x) -1$ decrece más rápidamente ( en función de $\Delta x$ ) que $\Delta x$ cuando $\Delta x \rightarrow 0$

Por consiguiente
$$y'=\displaystyle \cos(x)\cdot 0-\sin(x)\cdot 1$$
concluyendo, por tanto, que, dada la funció $y=\cos(x)$, entonces
$$y'=\displaystyle -\sin(x)$$

En caso de que el argumento de la función seno sea, a su vez, una función de $x$, deberemos aplicar la regla de la cadena, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:
  Enunciado: Derivar la función $y=\cos(x^2)$
  Resolución:       Denotemos por $t_x$ la función $x^2$, entonces, por la regla de la cadena: $y'_x = y'_{t}\,t'_x$; como $y'_t=\cos(t_x)=-\sin(x^2)$ y $t'_x=2\,x$, llegamos a
$$y'=-2\,x\,\sin(x^2)$$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Derivada de la función $\sin(x)$

Derivada de la función $\sin(x)$:

De la definción de derivada
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$
podemos escribir
$\displaystyle (\sin(x))'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}$
utilizando la fórmula del seno del ángulo suma, queda
$$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \,\dfrac{\sin(x)\,\cos(\Delta x)+\cos(x)\,\sin(\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}$$
y sacando factor común, lo podemos expresar de la forma
$$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)\big(\cos(\Delta x)-1)\big)+\cos(x)\,\sin(\Delta x)}{\Delta x}$$
luego, por las propiedades de los límites,
$$y'=\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)\big(\cos(\Delta x)-1)\big)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(x)\,\sin(\Delta x)}{\Delta x}$$
y al no depender de $\Delta x$ ni $\sin(x)$ ni $\cos(x)$ llegamos a
$$y'=\displaystyle \sin(x)\, \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta x)-1}{\Delta x}+\cos(x)\,\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}$$
Observemos, ahora que:
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}=1$, pues $\sin(\Delta x) \sim \Delta x$ cuando $\Delta x \rightarrow 0$;
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta x)-1}{\Delta x}=0$, ya que el factor $\cos(\Delta x) -1$ tiende a cero más rápidamente ( en función de $\Delta x$ ) que la función $\Delta x$, cuando $\Delta x \rightarrow 0$

Por consiguiente
$$y'=\displaystyle \sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1$$
concluyendo, por tanto, que, dada la funció $y=\sin(x)$, entonces
$$y'=\displaystyle \cos(x)$$

En caso de que el argumento de la función seno sea, a su vez, una función de $x$, deberemos aplicar la regla de la cadena, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:
  Enunciado: Derivar la función $y=\sin(x^2)$
  Resolución:       Denotemos por $t_x$ la función $x^2$, entonces, por la regla de la cadena: $y'_x = y'_{t}\,t'_x$; como $y'_t=\cos(t_x)=\cos(x^2)$ y $t'_x=2\,x$, llegamos a
$$y'=2\,x\,\cos(x^2)$$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Derivada de la función $x^k$ siendo $k\in \mathbb{R}$

Derivada de la función $x^k$ siendo $k\in \mathbb{R}$

(1) Sea $y=x^k$ con $k \in \mathbb{R}$. Recordemos que una de las primeras reglas de derivación que estudiamos fue una parecida, pero con mucho menor ámbito de aplicación: $y=x^n$ con $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$, siendo dicha derivada $y'=n\,x^{n-1}$. Veremos, ahora, que esta regla se extiende también a exponentes reales, esto es, $y=x^k \rightarrow y'=k\,x^{k-1}$. Vamos a justificar eso.

Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de $y=x^k$ obtenemos $\ln(y)=k\,\ln(x)$, y, derivando en cada miembro ( teniendo en cuenta la regla de la cadena ):
$$\dfrac{1}{y}\,y'=k\,\dfrac{1}{x}$$
despejando $y'$, llegamos a $y'=k\,\dfrac{y}{x}=k\,\dfrac{x^k}{x}=k\,x^{k-1}$

Ejemplo 1:
  Enunciado: Derivar la función $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$
  Resolución: Pongamos por comodidad $y=\sqrt[3]{x^2}$ en forma de potencia con exponente fraccionario: $y=x^{2/3}$. Entonces, aplicando la regla deducida, $y'=\dfrac{2}{3}\,x^{\frac{2}{3}-1}$, es decir, $y'=\dfrac{2}{3}\,x^{-\frac{1}{3}}$, que podemos expresar de la forma $y'=\dfrac{2}{3}\,\dfrac{1}{x^{1/3}}$ y, por tanto, también así: $y'=\dfrac{2}{3}\,\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Ejemplo 2:
  Enunciado: Derivar la función $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$
  Resolución: Pongamos por comodidad $y=1/x^2$ en forma de potencia: $y=x^{-2}$. Entonces, aplicando la regla deducida, $y'=-2\,x^{-2-1}$, es decir, $y'=-2\,x^{-3}$, que podemos expresar de la forma $y'=-2\,\dfrac{1}{x^3}$


$\blacksquare$

[nota del autor]

Derivada de la función f compuesta por g: $g \circ f$

Derivada de la función f compuesta por g: $g \circ f$
Sean las funciones derivables $f,g$ definidas de \mathbb{R} sobre \mathbb{R} y sea la función $g \circ f$, y que, por tanto, actua de la forma $(g \circ f)(x)=g(f(x))$. Nos proponemos encontrar la regla de derivación de dicha función compuesta.

Por la definición de derivada de una función en un punto:
$$y'_x=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta g_x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\bigg(\dfrac{\Delta g_f}{\Delta f_x}\cdot \dfrac{\Delta f_x}{\Delta x}\bigg)$$
Teniendo en cuenta, ahora, que al hacer tender a $0$ $\Delta x$, también tiende a cero $\Delta f_x$ también lo hace, de lo anterior se desprende que
$$\lim_{\Delta f_x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta g_f}{\Delta f_x} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta f_x}{\Delta x}$$
es decir
$$y'_x=g'_f \cdot f'_x$$

Ejemplo 1:
  Enunciado:
    Sea la función $y=(4x+5)^4$. Calcular la función derivada ( regla de la derivada del producto de funciones ).
    Resolución:
Denotemos por $t_x$ a $4x+5$, entonces: $y_x=t_x^{4}$, luego $y'_x=4\,t_x^{3}\cdot (t_x)'= 4\,(4x+5)^{3}\cdot (4x+5)'_x=4\,(4x+5)^{3}\cdot 4=16\,(4x+5)^3$

Ejercicio 1:
  Enunciado:
    Sea la función producto de funciones: $y_x=u_x \cdot v_x$. Calcular la función derivada.
    Resolución:
Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de la ecuación,
  $\ln(y_x)=\ln(u_x \cdot v_x)$
y, por las propiedades de los logaritmos, podremos escribirlo así:
  $\ln(y_x)=\ln(u_x)+\ln(v_x)$
derivando en cada miembro respecto de $x$ ( teniendo en cuenta la cadena o de composición de funciones ):
  $\dfrac{1}{y_x}\cdot y'_x=\dfrac{1}{u_x}\cdot u'_x+\dfrac{1}{v_x}\cdot v'_x$
luego
  $y'_x=(\dfrac{1}{u_x}\cdot u'_x+\dfrac{1}{v_x}\cdot v'_x)\cdot y_x$
es decir
  $y'_x=(\dfrac{1}{u_x}\cdot u'_x+\dfrac{1}{v_x}\cdot v'_x) \cdot u_x \, v_x$
y, simplificando, queda
  $y'_x=u_x \cdot u'_x+v_x\cdot v'_x$

Ejemplo 1.1:
  Enunciado:
    Sea la función $y=x\cdot e^x$. Calcular la función derivada.
    Resolución:
Denotemos por $u_x$ el factor $x$ y por $v_x$ el factor $e^x$, entonces: $y'_x=(x\,e^x)'=(x)'\,e^x+x\,(e^x)'=1\cdot e^x + x\,e^x=(1+x)\,e^x$

Ejemplo 1.2:
Procedemos, ahora, a derivar la función $y=x^x$. Sacando logaritmos en cada miembro, $\ln(y)=x\,\ln(x)$, y, derivando cada unos de los miembros aplicando la regla de la cadena y la regla del producto de funciones: $\dfrac{1}{y}\,y'=(x)'\,\ln(x)+x\,(\ln(x))'$, es decir, $\dfrac{1}{y}\,y'=1\cdot \ln(x)+x\,\dfrac{1}{x}$; despejando, ahora, $y'$ del primer miembro: $y'= y\, ( 1\cdot \ln(x)+x\,\dfrac{1}{x} )$, esto es, $y'= x^{x}\, ( \ln(x)+1)$

Ejercicio 2:
  Enunciado:
    Sea la función producto de funciones: $y_x=\dfrac{u_x}{v_x}$. Calcular la función derivada ( regla de la derivada del cociente de funciones ).
    Resolución:
Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de la ecuación,
  $\ln(y_x)=\ln( u_x / v_x)$
y, por las propiedades de los logaritmos, podremos escribirlo así:
  $\ln(y_x)=\ln(u_x)-\ln(v_x)$
derivando en cada miembro respecto de $x$ ( teniendo en cuenta la cadena o de composición de funciones ):
  $\dfrac{1}{y_x}\cdot y'_x=\dfrac{1}{u_x}\cdot u'_x-\dfrac{1}{v_x}\cdot v'_x$
luego
  $y'_x=(\dfrac{1}{u_x}\cdot u'_x+\dfrac{1}{v_x}\cdot v'_x)\cdot y_x$
es decir
  $y'_x=(\dfrac{1}{u_x}\cdot u'_x+\dfrac{1}{v_x}\cdot v'_x) \cdot \dfrac{u_x}{v_x}$
simplificando, queda
  $y'_x=\dfrac{u'_x}{v_x}-\dfrac{v'_x \cdot u_x}{v^{2}_{x}}$
y, finalmente, reduciendo a común denominador el segundo miembro,
  $y'_x=\dfrac{v_x\cdot u'_x}{v^{2}_{x}}-\dfrac{v'_x \cdot u_x}{v^{2}_{x}}$
es decir
  $y'_x=\dfrac{v_x\cdot u'_x-v'_x \cdot u_x}{v^{2}_{x}}$

Ejemplo 2.1:
  Enunciado:
    Sea la función $y=\dfrac{x}{e^x}$. Calcular la función derivada.
    Resolución:
Denotemos por $u_x$ el factor $x$ y por $v_x$ el factor $e^x$, entonces: $y'_x=(\dfrac{x}{e^x})'=\dfrac{(x)'\,e^x-x\,(e^x)'}{(e^x)^2}=\dfrac{1\cdot e^x-x\,e^x}{e^{2x}}=\dfrac{e^{x}\,(1-x)}{e^{2x}}$
que, simplificando es igual a $\dfrac{1-x}{e^x}$, que también puede expresarse de la forma $(1-x)\,e^{-x}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Derivada de la función $\ln(x)$

Derivada de la función $\ln(x)$:
Por la definición de derivada de una función dada, $y=f(x)$, en un punto de abscisa $x$,
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$

luego

$\displaystyle y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}$

    $\displaystyle =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\ln(\dfrac{x+\Delta x}{x})}{\Delta x}$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\bigg(\frac{1}{\Delta x}\,\ln(\dfrac{x+\Delta x}{x})\bigg)$

    $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\ln \bigg(\dfrac{x+\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{1}{\Delta x}}$

    $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\ln \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{1}{\Delta x}}$

    $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\ln \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{1}{\Delta x}}$

    $\displaystyle=\ln \Big( \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{1}{\Delta x}}\Big)$   ( ya que $\lim ( \ln (g(x)) ) = \ln ( \lim (g(x))$ )

    $\displaystyle=\ln \Big( \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{x}{\Delta x}\cdot \frac{1}{x}}\Big)$

    $\displaystyle=\ln \Bigg( \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \Big( \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{x}{\Delta x}} \Big)^{\frac{1}{x}}\Bigg)$

    $\displaystyle=\ln \Bigg( \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \Big( \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{x}{\Delta x}} \Big)^{\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \frac{1}{x}}\Bigg)$

    $\displaystyle=\ln \Big( e^{\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \frac{1}{x}}\Big)$

  ( por la propiedad: $\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0}\, (1+h(t))^{1/h(t)}=e$  , donde $\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0}\,h(t)=0$ )

por tanto lo anterior queda igual a

    $\displaystyle\ln \Big( e^{\frac{1}{x}}\Big)$

    $\displaystyle=\dfrac{1}{x}$

Resumiendo,

$$ (\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$$

Ejercicio:
  Enunciado:
    Calcular la derivada de la función $y=\log_{10}(x)$

  Resolución:
La base del logaritmo es, en este caso, $10$, luego para poder aplicar la regla de derivación del logaritmo neperiano debemos, antes, hacer un cambio de base logarítmica, que realizaremos como sigue:
  De $y=\log_{10}(x)$, obtenemos $x=10^y$ ( por la propiedad de reciprocidad de logaritmos y exponenciales ), luego, sacando logaritmos neperianos en cada miembro, $\ln(x)=\ln(10^y)$, de donde, por las propiedades de los logaritmos, $y \, \ln(10)=\ln(x)$, con lo cual, $y=\dfrac{1}{\ln(10)}\,\ln(x)$. Así expresada la función, ya podemos aplicar la regla de derivación:
$$y'=\big(\dfrac{1}{\ln(10)}\,\ln(x)\big)'=\dfrac{1}{\ln(10)}\,(\ln(x))'=\dfrac{1}{\ln(10)}\,\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x\,\ln(10)}$$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Regla de derivación de la función recíproca de una función dada, $y=f(x)$

Regla de derivación de la función recíproca de una función biyectiva dada, $y=f(x)$

Recordemos, en primer lugar, que, para que exista función recíproca de una función dada $f$, es necesario que ésta sea biyectiva ( inyectiva y exhaustiva ); por tanto, cabe aquí advertir que no tendrá sentido derivar la función recíproca de una función dada que no sea biyectiva, pongamos por ejemplo $y=x^2$, pues no existe la función recíproca para esta función. En lo que sigue, pues, supondremos que la función $f(x)$ dada sí es biyectiva y, por tanto, que existe función recíproca.

Por comodidad, denotemos por $y_x$ la función directa y por $x_y$ la función inversa, siendo por tanto para ésta $y$ la variable independiente y $x$ la dependiente.

Aplicando la definición de derivada
$$x'_y=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$$
Teniendo en cuenta que $\dfrac{\Delta x}{\Delta y}=\dfrac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}$ y que si $\Delta_y \rightarrow 0$ entonces $\Delta x \rightarrow 0$, y viceversa, entonces
$$x'_y=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta x}{\Delta y}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{1}{\Delta x / \Delta y}=\displaystyle \dfrac{\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,1}{\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\Delta y / \Delta x}=\dfrac{1}{y'_x}$$

Ejemplo 1 ( Derivada de la función $e^x$, siendo $e$ la base de los logaritmos neperianos ):
Sea $f(x)=\ln(x)$, que, por comodidad, denotamos de la forma, $y_x=\ln(x)$. Sabemos ya derivar esta función, $y'_x=1/x$, y nos proponemos, ahora, deducir la regla de derivación de la función exponencial de base el número $e$, que es la función, $x_y=e^y$, f. recíproca de la función dada. De acuerdo con la propiedad deducida, podemos escribir, $x'_y=1/y'_x$, y, por tanto, $x'_y=\dfrac{1}{1/x_y}=x_y=e^y$; en otras palabras, expresando la f. recíproca de $f$ en función de $x$, podemos resumir el resultado del cálculo expresándolo así: $(f^{-1}(x))^{'}=e^x$.

Ejercicio:
  Enunciado:
    Calcular la derivada de la función $y=2^x$
  Resolución:
Para poder derivar la función exponencial dada, al no ser la base el número $e$, debemos, antes, expresar convenientemente la función dada, en términos de $e$ como base de la potencia; lo haremos como sigue:
Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de la igualdad, $\ln(y)=\ln(2^x)=x\,\ln(2)$; aplicando ahora la propiedad de reciprocidad entre logaritmo y exponencial, $y=e^{x\,\ln(2)}$, con lo cual podemos, ahora, utilizar la regla de derivación de la función compuesta o regla de la cadena ( denominando $t_x=x\,\ln(2)$ ) y aplicando la regla deducida sobre la derivación de la función exponencial: $y'_x=y'_{t} \cdot t'_{x}$, esto es, $y'_x=e^{x\,\ln(2)} \cdot (x\,\ln(2))'_{x}=\ln(2)\,e^{x \,\ln(2)}= 2^x \cdot \ln(2)$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Regla de derivación de una función del tipo $f(x)+g(x)$, siendo $f(x),g(x)$ funciones derivables

Regla de derivación de una función del tipo $f(x)+g(x)$, siendo $f(x),g(x)$ funciones derivables
Aplicando la definición de derivada
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$
entonces
$\displaystyle y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x+\Delta x)+g(x + \Delta x)-(f(x)+g(x))}{\Delta x}$
    $\displaystyle=\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x)+g(x)+\Delta(f(x)+g(x))-(f(x)+g(x))}{\Delta\,x}$
    $\displaystyle=\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta(f(x)+g(x))}{\Delta\,x}$
    $\displaystyle=\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta(f(x))}{\Delta\,x}+\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta(g(x))}{\Delta\,x}$
    $=f'(x)+g'(x)$

Ejemplo:
Sea $y=x^3+x^2$, entonces $y'=(x^3)'+(x^2)'=3\,x^2+2\,x$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Regla de derivación de una función del tipo $y=k\,g(x)$, siendo $k \in \mathbb{R}$ y $g(x)$ una función derivable

Regla de derivación de una función del tipo $k\,g(x)$, siendo $k \in \mathbb{R}$ y $g(x)$ una función derivable
Aplicando la definición de derivada
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$
entonces
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{k\,(f(x)+\Delta(f(x))-k\,f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{k\,\Delta(f(x))}{\Delta\,x}$$
y, por las propiedades elementales de límite, nos queda
$$\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,k \cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta(f(x))}{\Delta\,x}$$
que es igual a $$k \cdot f'(x)$$

Ejemplo:
Sea $y=5\,x^2$, entonces $y'=5\,(x^2)'=5\cdot (2\,x)=10\,x$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Regla de derivación de una función polinómica de grado $n$

Regla de derivación de una función polinómica de grado $n$:
Sea $y=a_{n}\,x^{n}+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_{1}\,x+a_0 \quad , n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$
Hemos aprendido ya a derivar el monomio $a_{m}\,x^m$, cuya derivada es $n\,a_{m}\,x^{m-1}$ ( donde $m$ es un número natural o bien es cero); tenemos, ahora, una suma de términos del mismo tipo, y, al ser estos sumandos funciones continuas, el límite de la suma igual a la suma de los límites, luego, al aplicar la definición de derivada en un punto de abscisa $x$, ello conlleva que la derivada de la suma de estos términos es igual a la suma de derivadas de cada uno de ellos. Así, pues, podemos escribir:
$$y'=a_{n}\,n\,x^{n-1}+a_{n-1}\cdot (n-1)\,x^{n-2}+\ldots+a_{1}+0$$
que, naturalmente, resumimos así:
$$y'=a_{n}\,n\,x^{n-1}+a_{n-1}\cdot (n-1)\,x^{n-2}+\ldots+a_{1}$$

Nota:
Recordemos que la derivada de una constante ( término polinómico de grado cero ) - en este caso, $a_0$, es cero, esto es $( a_0 )'=0 $.

Observación:
Démonos cuenta de que al derivar un polinomio de grando $n$ se obtiene otro polinomio, de grado $n-1$.

Ejemplo:
Sea $y=4\,x^2+x+3$, entonces $y'=4\cdot 2\,x^{2-1}+ 1 \cdot x^{1-1}+0=8\,x+1$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Regla de derivación de la función $y=x^n\,, n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$

Regla de derivación de la función $y=x^n\,, n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$
Partiendo de la definición de derivada de una función en un punto de abscisa $x$ ( tasa de variación instantanea ):
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$
podemos escribir
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}$$
desarrollando la potencia del binomio
$$(x+\Delta x)^n=\sum_{i=0}^{n}\, \binom{n}{i}\,x^{n-i}\,(\Delta x)^{i}$$
con lo cual
$$(x+\Delta x)^n-x^n=\sum_{i=1}^{n}\, \binom{n}{i}\,x^{n-i}\,(\Delta x)^{i}=\Delta x \, \sum_{i=1}^{n}\, \binom{n}{i}\,x^{n-i}\,(\Delta x)^{i-1}$$
luego
$$\displaystyle y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta x \, \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\, \binom{n}{i}\,x^{n-i}\,(\Delta x)^{i-1}}{\Delta x}=n\,x^{n-1}$$
es decir
$$\displaystyle y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\binom{n}{1}\,x^{n-1}\,(\Delta x)^{0}+\binom{n}{2}\,x^{n-2}\,(\Delta x)^{1}+\ldots+\binom{n}{n}\,x^{0}\,(\Delta x)^{n-1}$$
y al pasar al límite llegamos a
$$\binom{n}{1}\,x^{n-1}\cdot 1+0+0+\ldots+0=n\,x^{n-1}$$
concluyendo que
$$y'=n\,x^{n-1}$$

Ejemplo:
Sea $y=x^3$, entonces $y'=3\,x^{3-1}=3\,x^2$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Resumen de las reglas de derivación

$f(x)$ $f^{'}(x)$ $c \;\; \text{(constant)}$ $0$ $x^k \quad , k \in \mathbb{R} \; \text{, constant)}$ $k\cdot x^{k-1}$ $c\cdot u(x)$ $c\cdot u^{'}(x)$ $u(x)+v(x)$ $u^{'}(x)+v^{'}(x)$ $(u \circ v )(x)$ $u_{v}^{'}\cdot(v^{'}(x)$ $\sin{\big(u(x)\big)}$ $\cos{\big(u(x)\big)}\cdot u^{'}(x)$ $\tan(u(x))$ $\displaystyle \dfrac{1}{\cos^{2}\big(x\big)}\cdot u^{'}(x)$ $e^{u(x)}$ $e^{u(x)}\cdot u^{'}(x)$ $\ln{u(x)}$ $\displaystyle \dfrac{1}{u(x)}\cdot u^{'}(x)$ $u(x) \cdot v(x)$ $u^{'}(x)\cdot v(x) + v^{'}(x)\cdot u(x)$ $\displaystyle \dfrac{u(x)}{v(x)}$ $\displaystyle \dfrac{u^{'}(x)\cdot v(x) - v^{'}(x)\cdot u(x)}{\big(v(x)\big)^2}$ $\big(u(x)\big)^{v(x)}$ $ \displaystyle\big(u(x)\big)^{v(x)}\cdot \Big(\dfrac{u^{'}(x)}{u(x)}\cdot v(x) + v^{'}(x) \cdot \ln{\big(u(x)\big)} \Big)$ $\arcsin{\big(u(x)\big)}$ $ \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{1-\big(u(x)\big)^2}}\cdot \big(u(x)\big)^{'}$ $\arccos{\big(u(x)\big)}$ $ \displaystyle -\dfrac{1}{\sqrt{1-\big(u(x)\big)^2}}\cdot \big(u(x)\big)^{'}$ $\arctan{\big(u(x)\big)}$ $ \displaystyle \dfrac{1}{1+\big(u(x)\big)^2}\cdot \big(u(x)\big)^{'}$

[nota del autor]

Sea la variable aleatoria $X \sim N(2\,,\,0'3)$. Se pide: a) El valor de la abscisa $k$ tal que $P\{X \le k \}=0'1500$ b) El valor de la abscisa $m$ tal que $P\{|X| \ge m \}=0'3000$ c) $P\{1'75 \le X \le 2'25 \}$ d) $P\{|X-0'3| \le 2'2 \}$

Enunciado:
Sea la variable aleatoria $X \sim N(2\,,\,0'3)$. Se pide:
  a) El valor de la abscisa $k$ tal que $P\{X \le k \}=0'1500$
  b) El valor de la abscisa $m$ tal que $P\{|X| \ge m \}=0'3000$
  c) $P\{1'75 \le X \le 2'25 \}$
  d) $P\{|X-0'3| \le 2'2 \}$

Resolución:

[nota del autor]

Se supone que el gasto que hacen los individuos de una determinada población en regalos de Navidad se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica igual a $45 \, \text{\euro}$. (a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene el intervalo de confianza $(251'6\,,\,271'2)$ para $\mu$, con un nivel de confianza del $95\,\%$. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida. (b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $n=64$ para estimar $\mu$. Calcúlese el error máximo para esa estimación con un nivel de confianza del $90\,\%$

Enunciado:
Se supone que el gasto que hacen los individuos de una determinada población en regalos de Navidad se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma=45 \, \text{\euro}$.
  (a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene el intervalo de confianza $(251'6\,,\,271'2)$ para $\mu$, con un nivel de confianza del $1-\alpha=95\,\%$. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
  (b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $n=64$ para estimar $\mu$. Calcúlese el error máximo para esa estimación con un nivel de confianza del $1-\alpha=95\,\%$

Resolución:
Siendo $X \sim N(\mu\,,\,45)$, entonces el intervalo de confianza, a nivel de confianza $1-\alpha$, viene dado por $I=[\bar{x}-z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}\,,\,\bar{x}+z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}]$ ( Teorema Central del Límite ), siendo la abcisa $z_{\alpha/2}$ tal que $P\{Z \ge z_{\alpha/2}\}=\alpha /2$, esto es, $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2$; en nuestro caso, $P\{Z \le z_{0'05/2}\}=1-0'05/2$, y, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad, $F(z)$, encontramos $z_{0'05/2}=1'96$, luego el intervalo de confianza es $I=[\bar{x}-1'96 \cdot 45/\sqrt{n}\,,\,\bar{x}+1'96 \cdot 45/\sqrt{n}]$.

Conociendo los extremos de dicho intervalo, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{matrix} \bar{x}-1'96 \cdot 45/\sqrt{n}=251'6 \\ \\\bar{x}+1'96 \cdot45/\sqrt{n}=251'6 \\ \end{matrix}\right.$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix} 88'2/\sqrt{n}=\bar{x}-251'6\\ \\ 88'2/\sqrt{n}=-\bar{x}+271'6\\ \end{matrix}\right.$$
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, llegamos a
$2\cdot 88'2/\sqrt{n}=271'2-251'6$, de donde, obtenemos $\sqrt{n}=9$, y, por tanto, $n=81$.

Sustituyendo el valor de $n$ en cualquiera de las dos ecuaciones, encontramos el valor de la media muestral: $\bar{x}=261'4$

Observación:
Otra manera de resolver el problema consiste, simplemente, en calcular el valor de la media muestral a partir de la semisuma de los extremos del intervalo de confianza:
$$\bar{x}=\dfrac{251'6+271'2}{2}=261'4$$
y, a partir de este valor, encontramos el del tamaño de la muestra, pues conocemos el valor de los extremos del intervalo de confianza; así, $\bar{x}-1'96\cdot 45/\sqrt{n}=251'6$, y, de aquí, $261'4-1'96\cdot 45/\sqrt{n}=251'6$ llegamos a $n=81$; o bien, de forma equivalente, $261'4+1'96\cdot 45/\sqrt{n}=271'2$
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[nota del autor]

La cantidad de información, expresada megabyte ( Mb ), descargada mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de telefonía móvil se puede aproximar por una distribución normal con media $3'5$ Mb y desviación típica igual a $1'4$ Mb. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $n=49$. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a $3'37$ Mb ? b) Supóngase ahora que la media poblacional, $\mu$, es desconocida y que la media muestral, $\bar{x}$, toma el valor de $3'42$ Mb. Obténgase un intervalo de confianza al $95\,\%$ para la media de la población.

Enunciado:
La cantidad de información, expresada megabyte ( Mb ), descargada mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de
telefonía móvil se puede aproximar por una distribución normal con media $3'5$ Mb y
desviación típica igual a $1'4$ Mb. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $n=49$.
  a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a $3'37$ Mb ?
  b) Supóngase ahora que la media poblacional, $\mu$, es desconocida y que la media muestral, $\bar{x}$, toma el valor de $3'42$ Mb. Obténgase un intervalo de confianza al $95\,\%$ para la media de la población.

Resolución:
El estimador, $\bar{x}$, de la media poblacional, $\mu$, tiene una distribución en el muestreo $\bar{x} \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, donde la desviación típica de la variable aleatoria del estimador $\bar{x}$ en el muestreo es $\sigma(\bar{x})=\sigma/\sqrt{n}$ ( Teorema Central del Límite ), es decir, en nuestro caso, $\bar{x} \sim N(3'5\,,\,1'4/\sqrt{49})$, esto es, $\bar{x} \sim N(3'5\,,\,0'2)$.

a)
$P\{\bar{x} \prec 3'37\}=P\{Z \le \dfrac{337-3'5}{0'2}\}$   ( tipificando la variable $\bar{x}$ )
  $=P\{Z \le -0'65\}$
  $=P\{Z \ge 0'65\}$   ( por la simetría de la función de densidad $f(z)$ )
  $=1-P\{Z \le 0'65\}$   ( por la propiedad del contrario )
  $\approx 1-0'7422 = 0'2578$

b)
Partimos, ahora, de $X \sim N(\mu\,,\,1'4)$ ( $\mu$, desconocida, y media muestral observada: $\bar{x}=3'42$ ). Entonces, el intervalo de confianza, a nivel de confianza $1-\alpha=0'95$, es $I=[\bar{x}-z_{\alpha/2}\cdot \sigma /\sqrt{n}\,,\,\bar{x}+z_{\alpha/2}\cdot \sigma /\sqrt{n}]$, siendo la abscisa $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=1'96$, pues $z_{0'05/2}$ es tal que $P\{Z \le z_{0'05/2}\}=1-0'05/2$, y, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad, $F(z)$, encontramos $z_{0'05/2}=1'96$. Así,pues, poniendo los datos del problema, encontramos: $I=[3'42-0'95 \cdot 1'4/\sqrt{49}\,,\,3'42+0'95 \cdot 1'4/\sqrt{49}]$, esto es, $I=[3'028\,,\,3'812]$

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[nota del autor]

De una urna que contiene una $4$ bolas blancas y $6$ bolas negras se hacen $20$ extracciones sucesivas con reemplazamiento. Se pide la probabilidad de que se obtenga: a) ninguna bola blanca b) al menos una bola blanca c) un número de bolas blancas superior a $4$ d) $7$ bolas blancas, exactamente

Enunciado:
De una urna que contiene una $4$ bolas blancas y $6$ bolas negras se hacen $20$ extracciones sucesivas con reemplazamiento. Se pide la probabilidad de que se obtenga:
  a) ninguna bola blanca
  b) al menos una bola blanca
  c) un número de bolas blancas superior a $4$
  d) $7$ bolas blancas, exactamente

Resolución:

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[nota del autor]

relaciones binarias numéricas que no son funciones

Entorno a las ideas que conforman la noción ( definición ) de función, es muy importante entender que una relación binaria sólo se podrá considerar una relación funcional cuando ( por definición ) la imagen de todo elemento que forme parte del campo de definición de la misma sea única.

Si bien todas las funciones se pueden expresar mediante una relación algebraica entre las variables, esto es, a partir de una ecuación o un conjunto de ecuaciones, es importante entender que ésto no es exclusivo de las funciones. Podemos poner muchos ejemplos de correspondencias ( relaciones binarias ) entre conjuntos numéricos que no se ciñen a la definición de función, en el sentido apuntado arriba, tal y como ahora vamos a mostrar.

La relación binaria $y=\sqrt{x}$, definida de $\mathbb{R^{+}\cup \{0\}}$ sobre $\mathbb{R}$ no es una función numérica ( aplicación ), pues para un valor cualquiera del campo de existencia ( $\mathbb{R}^{+}\cup \{0\}$ ) existen dos imágenes, tal como se muestra en el siguiente gráfico

Considérese también, por poner otro ejemplo, la relación binaria del conjunto de los números reales sobre el propio conjunto de los números reales ( es decir, en el plano cartesiano ) que se refiere a los puntos de una circunferencia, y que podemos expresar por medio de una ecuación: la ecuación del lugar geométrico de una circunferencia de radio $r$ y centro $C(x_c,y_c)$.

De acuerdo con la definición de circunferencia que nos da la geometría elemental, podemos describir este objeto de la forma: $\mathcal{C}:\,(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$, siendo $x$ e $y$ las coordenadas de un punto cualquiera, $P(x,y)$, de la misma; ésto es así porque, al equidistar todo punto $P(x,y)$ de $\mathcal{C}$ del centro $C(x_c,y_c)$ de la misma, por el Teorema de Pitágoras, deducimos sin dificultad la relación que debe cumplir.

Pues bien, no corresponde esa ecuación a una función, porque a cada valor de la variable independiente, $x$, que forme parte del conjunto de valores que definen la curva ( a excepción de los puntos extremos del diámetro horizontal ) le corresponden dos valores de la variable dependiente $y$; sin embargo, es evidente que ese objeto ( circunferencia ) sí podemos también expresarla mediante una ecuación.

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[nota del autor]

Producto cartesiano de dos conjuntos, correspondencia entre conjuntos, relaciones binarias, aplicaciones, y funciones numéricas

Producto cartesiano de dos conjuntos:
Dados dos conjuntos
$A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$
y
$B=\{b_1,b_2,\ldots,b_m\}$
llamamos producto cartesiano de de $A$ per $B$, y se desinga por $A \times B$, al conjunto $n\cdot m$ de pares ordenados
$A \times B= \{(a_i,b_j): i=1,2,3,\ldots,n \quad j=1,2,3,\ldots, m\}$

Relación binaria:
Sean dos conjuntos $A$ i $B$, y su producto cartesiano $A \times B$, se define una relación binaria $\mathcal{R}$ entre los conjuntos $A$ y $B$ como un subconjunto $G$ de $A \times B$. Entonces, dado un par ordenado $(x,y) \in G$, decimos que $x$ está relacionado con $y$, que expresamos de la forma $x \overset{\mathcal{R}}{\rightarrow} y $.

La representación gráfica del conjunto de pares ordenados $G=\{(x,y)| x \overset{\mathcal{R}}{\rightarrow} y \;,\; x\in A \; e \; y\in B\}$ se denomina grafo de la relación binaria entre $A$ ( conjunto de partida) y $B$ ( conjunto de llegada ).
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Dada, pues, la relación binaria $\mathcal{R}$, al conjunto de elementos $\{x: (x,.)\in G \subset A \times B \}$, es decir, al conjunto de elementos de $A$ a los cuales les corresponda algún elemento de $B$ por dicha relación $\mathcal{R}$ se le denomina dominio de $\mathcal{R}$, y al subconjunto de $B$ formado por los elementos que son imágenes de algún elemento del conjunto inicial ( es al conjunto de las antiimagenes ) lo denominamos conjunto imagen.

Relaciones funcionales (aplicaciones):
Si a cada elemento del dominio de la relación binaria un y sólo un elemento del conjunto imagen diremos que la relación binaria $\mathcal{R}$ definida entre $A$ y $B$ es de tipo funcional ( o que $\mathcal{R}$ es una aplicación ). Tratándose de una aplicación ( o relación funcional ), denominamos dominio d'existencia ( o campo d'existencia ) al conjunto de partida - en una función, el conjunto de partida coincide, por definición, con el conjunto de partida -, y, recorrido ( codominio, en algunos libros ) al subconjunto del conjunto de llegada formado por todos los valores que son imagen de algún elemento del campo de existencia de la función.

Aplicaciones entre conjuntos numéricos (funciones numéricas):
En particular, si los conjuntos de partida y de llegada ( y, por tanto, el campo d'existencia y el recorrido ) son conjuntos numéricos, hablaremos de funciones numéricas.

Ejemplos de relaciones binarias numéricas que son aplicaciones:
Ejemplo:   Una sucesión numérica cualquiera, como, por ejemplo, la de término general $f(n)=n+1$, es una aplicación definida de $\mathbb{N}$ sobre $\mathbb{R}$ ( $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ ) y, por tanto, es una función numérica; su gráfico es un conjunto de puntos del plano aislados y, por eso, denominamos a este tipo de funciones ( como, en el caso de la sucesión del ejemplo ), funciones discretas.

Ejemplo:   Una aplicación definida de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{R}$ ( $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ) , como $f(x)=x+1$ es una función numérica ( el gráfico es una recta, de trazo continuo ).

Ejemplo:   Una relación binaria definida de $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ sobre $\mathbb{R}$
( $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ ), com por ejemplo, $f(x)=\left|\sqrt{x}\right|$ ( valor absoluto de la raíz cuadrada ) es una aplicación ( función numérica) ya que la presencia de la operación valor absoluto evita que haya más de una imagen para un mismo valor de $x$ perteneciente al dominio d'existencia, que, de no ser así, la invalidaría como aplicación.

Ejemplos de relaciones binarias que no son aplicacions:
Ejemplo:   Una relación binaria definida de $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ sobre $\mathbb{R}$
( $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ ), como por ejemplo, $f(x)=\sqrt{x}$ ( raíz cuadrada ) no es una aplicación porque es bivaluada, esto es, para un mismo elemento del campo de existencia le corresponden dos imágenes: una positiva y otra negativa; así, por ejemplo, $\sqrt{4}=\pm 2$ ).

Tipos de funciones ( tipos de aplicaciones):
Una función o aplicación puede ser:
  inyectiva
Una funció $f$ es inyectiva si dados dos o más valores iguales del su recorrido ( o codominio ), entonces sus antiimágenes son también iguales.
  exhaustiva
Una funció o aplicación $f$ és exhaustiva si para todo elemento de su recorrido ( o codominio ) existe alguna antiimagen.
  biyectiva
Una funció $f$ es biyectiva si es inyectiva y exhaustiva.

Ejemplo de función inyectiva:
La función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és inyectiva pues para un valor dado de su recorrido ( codominio ) $y=k$ existe un único valor como antiimatgen: $f^{-1}(k)=k-1$ .

Ejemplo de función que no es inyectiva:
La función $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $f(x)=x^2$ no es inyectiva ya que para un valor dado del su recorrido ( codominio ) $y_k$ existen dos antiimágenes $+\left|\sqrt{y_k}\right|$   i   $-\left|\sqrt{y_k}\right|$; por ejemplo, dado $y_{k}=4$, encontramos dos antiimágenes distintas: $x_{k_1}=-2$ y $x_{k_2}=2$.

Ejemplo de función que no es exhaustiva:
La función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no es exhaustiva ya que todos los valores negativos de su recorrido ( que, según la definición, es $\mathbb{R}$ ), no poseen antiimatgen; así, por ejemplo, $y=-1$ no tiene antiimagen, pues $\sqrt{-1}$ no es un número real.   Nota: Evidentmente, si se redefine el recorrido ( o codominio ) de la forma $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ sí es, entonces, exhaustiva.

Ejemplo de función que es biyectiva:
La función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ es biyectiva, por ser inyectiva y, también, exhaustiva.

Ejemplo de función que no es biyectiva:
La función $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no es biyectiva, puesto que no es exhaustiva, si bien es inyectiva.

Exemplo de función que no es biyectiva:
La función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no es biyectiva porque, si bien sí es exhaustiva ( al haber redefinido el recorrido en relación al ejemplo anterior ), no es inyectiva.

[nota del autor]

Ejemplo de uso de las tablas de la función de distribución de la variable normal tipificada

Ejemplo de uso de las tablas de la función de distribución de la variable normal tipificada: Dado el valor de la probabilidad acumulada ( área bajo la curva de la función de densidad ), ¿ cómo encontrar el valor de la abscisa a partir de la cual se empieza a acumular la probabiliad ?

[nota del autor]