Producto cartesiano de dos conjuntos, correspondencia entre conjuntos, relaciones binarias, aplicaciones, y funciones numéricas

Producto cartesiano de dos conjuntos:
Dados dos conjuntos
$A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$
y
$B=\{b_1,b_2,\ldots,b_m\}$
llamamos producto cartesiano de de $A$ per $B$, y se desinga por $A \times B$, al conjunto $n\cdot m$ de pares ordenados
$A \times B= \{(a_i,b_j): i=1,2,3,\ldots,n \quad j=1,2,3,\ldots, m\}$

Relación binaria:
Sean dos conjuntos $A$ i $B$, y su producto cartesiano $A \times B$, se define una relación binaria $\mathcal{R}$ entre los conjuntos $A$ y $B$ como un subconjunto $G$ de $A \times B$. Entonces, dado un par ordenado $(x,y) \in G$, decimos que $x$ está relacionado con $y$, que expresamos de la forma $x \overset{\mathcal{R}}{\rightarrow} y $.

La representación gráfica del conjunto de pares ordenados $G=\{(x,y)| x \overset{\mathcal{R}}{\rightarrow} y \;,\; x\in A \; e \; y\in B\}$ se denomina grafo de la relación binaria entre $A$ ( conjunto de partida) y $B$ ( conjunto de llegada ).
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Dada, pues, la relación binaria $\mathcal{R}$, al conjunto de elementos $\{x: (x,.)\in G \subset A \times B \}$, es decir, al conjunto de elementos de $A$ a los cuales les corresponda algún elemento de $B$ por dicha relación $\mathcal{R}$ se le denomina dominio de $\mathcal{R}$, y al subconjunto de $B$ formado por los elementos que son imágenes de algún elemento del conjunto inicial ( es al conjunto de las antiimagenes ) lo denominamos conjunto imagen.

Relaciones funcionales (aplicaciones):
Si a cada elemento del dominio de la relación binaria un y sólo un elemento del conjunto imagen diremos que la relación binaria $\mathcal{R}$ definida entre $A$ y $B$ es de tipo funcional ( o que $\mathcal{R}$ es una aplicación ). Tratándose de una aplicación ( o relación funcional ), denominamos dominio d'existencia ( o campo d'existencia ) al conjunto de partida - en una función, el conjunto de partida coincide, por definición, con el conjunto de partida -, y, recorrido ( codominio, en algunos libros ) al subconjunto del conjunto de llegada formado por todos los valores que son imagen de algún elemento del campo de existencia de la función.

Aplicaciones entre conjuntos numéricos (funciones numéricas):
En particular, si los conjuntos de partida y de llegada ( y, por tanto, el campo d'existencia y el recorrido ) son conjuntos numéricos, hablaremos de funciones numéricas.

Ejemplos de relaciones binarias numéricas que son aplicaciones:
Ejemplo:   Una sucesión numérica cualquiera, como, por ejemplo, la de término general $f(n)=n+1$, es una aplicación definida de $\mathbb{N}$ sobre $\mathbb{R}$ ( $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ ) y, por tanto, es una función numérica; su gráfico es un conjunto de puntos del plano aislados y, por eso, denominamos a este tipo de funciones ( como, en el caso de la sucesión del ejemplo ), funciones discretas.

Ejemplo:   Una aplicación definida de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{R}$ ( $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ) , como $f(x)=x+1$ es una función numérica ( el gráfico es una recta, de trazo continuo ).

Ejemplo:   Una relación binaria definida de $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ sobre $\mathbb{R}$
( $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ ), com por ejemplo, $f(x)=\left|\sqrt{x}\right|$ ( valor absoluto de la raíz cuadrada ) es una aplicación ( función numérica) ya que la presencia de la operación valor absoluto evita que haya más de una imagen para un mismo valor de $x$ perteneciente al dominio d'existencia, que, de no ser así, la invalidaría como aplicación.

Ejemplos de relaciones binarias que no son aplicacions:
Ejemplo:   Una relación binaria definida de $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ sobre $\mathbb{R}$
( $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ ), como por ejemplo, $f(x)=\sqrt{x}$ ( raíz cuadrada ) no es una aplicación porque es bivaluada, esto es, para un mismo elemento del campo de existencia le corresponden dos imágenes: una positiva y otra negativa; así, por ejemplo, $\sqrt{4}=\pm 2$ ).

Tipos de funciones ( tipos de aplicaciones):
Una función o aplicación puede ser:
  inyectiva
Una funció $f$ es inyectiva si dados dos o más valores iguales del su recorrido ( o codominio ), entonces sus antiimágenes son también iguales.
  exhaustiva
Una funció o aplicación $f$ és exhaustiva si para todo elemento de su recorrido ( o codominio ) existe alguna antiimagen.
  biyectiva
Una funció $f$ es biyectiva si es inyectiva y exhaustiva.

Ejemplo de función inyectiva:
La función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és inyectiva pues para un valor dado de su recorrido ( codominio ) $y=k$ existe un único valor como antiimatgen: $f^{-1}(k)=k-1$ .

Ejemplo de función que no es inyectiva:
La función $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $f(x)=x^2$ no es inyectiva ya que para un valor dado del su recorrido ( codominio ) $y_k$ existen dos antiimágenes $+\left|\sqrt{y_k}\right|$   i   $-\left|\sqrt{y_k}\right|$; por ejemplo, dado $y_{k}=4$, encontramos dos antiimágenes distintas: $x_{k_1}=-2$ y $x_{k_2}=2$.

Ejemplo de función que no es exhaustiva:
La función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no es exhaustiva ya que todos los valores negativos de su recorrido ( que, según la definición, es $\mathbb{R}$ ), no poseen antiimatgen; así, por ejemplo, $y=-1$ no tiene antiimagen, pues $\sqrt{-1}$ no es un número real.   Nota: Evidentmente, si se redefine el recorrido ( o codominio ) de la forma $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ sí es, entonces, exhaustiva.

Ejemplo de función que es biyectiva:
La función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ es biyectiva, por ser inyectiva y, también, exhaustiva.

Ejemplo de función que no es biyectiva:
La función $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no es biyectiva, puesto que no es exhaustiva, si bien es inyectiva.

Exemplo de función que no es biyectiva:
La función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no es biyectiva porque, si bien sí es exhaustiva ( al haber redefinido el recorrido en relación al ejemplo anterior ), no es inyectiva.

[nota del autor]