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lunes, 10 de marzo de 2014

La cantidad de información, expresada megabyte ( Mb ), descargada mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de telefonía móvil se puede aproximar por una distribución normal con media 3'5 Mb y desviación típica igual a 1'4 Mb. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño n=49.   a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 3'37 Mb ?   b) Supóngase ahora que la media poblacional, \mu, es desconocida y que la media muestral, \bar{x}, toma el valor de 3'42 Mb. Obténgase un intervalo de confianza al 95\,\% para la media de la población.

Enunciado:
La cantidad de información, expresada megabyte ( Mb ), descargada mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de
telefonía móvil se puede aproximar por una distribución normal con media 3'5 Mb y
desviación típica igual a 1'4 Mb. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño n=49.
  a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 3'37 Mb ?
  b) Supóngase ahora que la media poblacional, \mu, es desconocida y que la media muestral, \bar{x}, toma el valor de 3'42 Mb. Obténgase un intervalo de confianza al 95\,\% para la media de la población.

Resolución:
El estimador, \bar{x}, de la media poblacional, \mu, tiene una distribución en el muestreo \bar{x} \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n}), donde la desviación típica de la variable aleatoria del estimador \bar{x} en el muestreo es \sigma(\bar{x})=\sigma/\sqrt{n} ( Teorema Central del Límite ), es decir, en nuestro caso, \bar{x} \sim N(3'5\,,\,1'4/\sqrt{49}), esto es, \bar{x} \sim N(3'5\,,\,0'2).

a)
P\{\bar{x} \prec 3'37\}=P\{Z \le \dfrac{337-3'5}{0'2}\}   ( tipificando la variable \bar{x} )
  =P\{Z \le -0'65\}
  =P\{Z \ge 0'65\}   ( por la simetría de la función de densidad f(z) )
  =1-P\{Z \le 0'65\}   ( por la propiedad del contrario )
  \approx 1-0'7422 = 0'2578

b)
Partimos, ahora, de X \sim N(\mu\,,\,1'4) ( \mu, desconocida, y media muestral observada: \bar{x}=3'42 ). Entonces, el intervalo de confianza, a nivel de confianza 1-\alpha=0'95, es I=[\bar{x}-z_{\alpha/2}\cdot \sigma /\sqrt{n}\,,\,\bar{x}+z_{\alpha/2}\cdot \sigma /\sqrt{n}], siendo la abscisa z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=1'96, pues z_{0'05/2} es tal que P\{Z \le z_{0'05/2}\}=1-0'05/2, y, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad, F(z), encontramos z_{0'05/2}=1'96. Así,pues, poniendo los datos del problema, encontramos: I=[3'42-0'95 \cdot 1'4/\sqrt{49}\,,\,3'42+0'95 \cdot 1'4/\sqrt{49}], esto es, I=[3'028\,,\,3'812]

\blacksquare

[nota del autor]

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