Regla de derivación de la función $y=x^n\,, n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$

Regla de derivación de la función $y=x^n\,, n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$
Partiendo de la definición de derivada de una función en un punto de abscisa $x$ ( tasa de variación instantanea ):
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$
podemos escribir
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}$$
desarrollando la potencia del binomio
$$(x+\Delta x)^n=\sum_{i=0}^{n}\, \binom{n}{i}\,x^{n-i}\,(\Delta x)^{i}$$
con lo cual
$$(x+\Delta x)^n-x^n=\sum_{i=1}^{n}\, \binom{n}{i}\,x^{n-i}\,(\Delta x)^{i}=\Delta x \, \sum_{i=1}^{n}\, \binom{n}{i}\,x^{n-i}\,(\Delta x)^{i-1}$$
luego
$$\displaystyle y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta x \, \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\, \binom{n}{i}\,x^{n-i}\,(\Delta x)^{i-1}}{\Delta x}=n\,x^{n-1}$$
es decir
$$\displaystyle y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\binom{n}{1}\,x^{n-1}\,(\Delta x)^{0}+\binom{n}{2}\,x^{n-2}\,(\Delta x)^{1}+\ldots+\binom{n}{n}\,x^{0}\,(\Delta x)^{n-1}$$
y al pasar al límite llegamos a
$$\binom{n}{1}\,x^{n-1}\cdot 1+0+0+\ldots+0=n\,x^{n-1}$$
concluyendo que
$$y'=n\,x^{n-1}$$

Ejemplo:
Sea $y=x^3$, entonces $y'=3\,x^{3-1}=3\,x^2$
$\blacksquare$

[nota del autor]