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viernes, 28 de marzo de 2014

Regla de derivación de una función polinómica de grado n

Regla de derivación de una función polinómica de grado n:
Sea y=a_{n}\,x^{n}+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_{1}\,x+a_0 \quad , n \in \mathbb{N} \cup \{0\}
Hemos aprendido ya a derivar el monomio a_{m}\,x^m, cuya derivada es n\,a_{m}\,x^{m-1} ( donde m es un número natural o bien es cero); tenemos, ahora, una suma de términos del mismo tipo, y, al ser estos sumandos funciones continuas, el límite de la suma igual a la suma de los límites, luego, al aplicar la definición de derivada en un punto de abscisa x, ello conlleva que la derivada de la suma de estos términos es igual a la suma de derivadas de cada uno de ellos. Así, pues, podemos escribir:
y'=a_{n}\,n\,x^{n-1}+a_{n-1}\cdot (n-1)\,x^{n-2}+\ldots+a_{1}+0


que, naturalmente, resumimos así:
y'=a_{n}\,n\,x^{n-1}+a_{n-1}\cdot (n-1)\,x^{n-2}+\ldots+a_{1}


Nota:
Recordemos que la derivada de una constante ( término polinómico de grado cero ) - en este caso, a_0, es cero, esto es ( a_0 )'=0 .

Observación:
Démonos cuenta de que al derivar un polinomio de grando n se obtiene otro polinomio, de grado n-1.

Ejemplo:
Sea y=4\,x^2+x+3, entonces y'=4\cdot 2\,x^{2-1}+ 1 \cdot x^{1-1}+0=8\,x+1

\blacksquare

[nota del autor]

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