Regla de derivación de una función polinómica de grado $n$

Regla de derivación de una función polinómica de grado $n$:
Sea $y=a_{n}\,x^{n}+a_{n-1}\,x^{n-1}+\ldots+a_{1}\,x+a_0 \quad , n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$
Hemos aprendido ya a derivar el monomio $a_{m}\,x^m$, cuya derivada es $n\,a_{m}\,x^{m-1}$ ( donde $m$ es un número natural o bien es cero); tenemos, ahora, una suma de términos del mismo tipo, y, al ser estos sumandos funciones continuas, el límite de la suma igual a la suma de los límites, luego, al aplicar la definición de derivada en un punto de abscisa $x$, ello conlleva que la derivada de la suma de estos términos es igual a la suma de derivadas de cada uno de ellos. Así, pues, podemos escribir:
$$y'=a_{n}\,n\,x^{n-1}+a_{n-1}\cdot (n-1)\,x^{n-2}+\ldots+a_{1}+0$$
que, naturalmente, resumimos así:
$$y'=a_{n}\,n\,x^{n-1}+a_{n-1}\cdot (n-1)\,x^{n-2}+\ldots+a_{1}$$

Nota:
Recordemos que la derivada de una constante ( término polinómico de grado cero ) - en este caso, $a_0$, es cero, esto es $( a_0 )'=0 $.

Observación:
Démonos cuenta de que al derivar un polinomio de grando $n$ se obtiene otro polinomio, de grado $n-1$.

Ejemplo:
Sea $y=4\,x^2+x+3$, entonces $y'=4\cdot 2\,x^{2-1}+ 1 \cdot x^{1-1}+0=8\,x+1$

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[nota del autor]