Derivada de la función recíproca de la función seno

Derivada de la función recíproca de la función seno:

Dada la función seno, $f(x)=\sin(x)$, en principio definida de $\mathbb{R}$ sobre $[-1,1]\subset \mathbb{R}$, al ser periódica, no es inyectiva, luego no posee función recíproca, por lo cual debemos ajustar su dominio de existencia con el fin de partir de una función directa inyectiva y, así, poder hablar de su función recíproca. Volvamos, pues, a definir su dominio de existencia de la siguiente manera: $$[-\pi\,,\pi]\subset \mathbb{R} \overset{f}{\longrightarrow} [-1\,,\,1] \subset \mathbb{R}$$
$$x \mapsto f(x)=\sin(x)$$
Ahora sí podemos hablar ya de función recíproca de la función seno ( Nota: expresaremos el valor de los ángulos en radianes ):
$$[-1\,,1]\subset \mathbb{R} \overset{f^{-1}}{\longrightarrow} [-\pi\,,\pi] \subset \mathbb{R}$$
$$x \mapsto f^{-1}(x)=\arcsin(x)$$
( la siguiente figura lo ilustra )

Procedamos, pues, a derivar la función recíproca; para ello, y por comodidad en los pasos que siguen, vamos a notar la función directa $f(x)=\sin(x)$ de la forma $y_x=\sin(x)$, con lo cual, la función recíproca la denotaremos por $x_y$ ( la variable independiente de la directa hace el papel, ahora, de variable dependiente, y, viceversa ). Recordemos, también, la propiedad fundamental que dedujimos para poder obtener la derivada de la función recíproca de una función inyectiva dada: $$x'_y=\dfrac{1}{y'_x}$$

Entonces, $x'_y\overset{=}{1}\dfrac{1}{\cos(x)}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2{x}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}$. Finalmente, en lugar de notar la función recíproca de la forma $x_y=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}$, volvemos a notar por $x$ la variable independiente ( como es habitual ) y a notar la función recíproca de $f(x)$ por $f^{-1}(x)$. En resumen: $(f^{-1}(x))^{'}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ para $x\in [-1\,,\,1]\subset \mathbb{R}$

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Nota 1:
Recordemos que siendo $y_x=\sin(x)$, entonces $y'_x=\cos(x)$
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[nota del autor]