Calculo de la tasa de variación instantánea de una función en un punto dado:

Calculo de la tasa de variación instantánea de una función en un punto dado:

Al ser la tasa de variación instantánea de la función, $\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0 }\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ en un punto de abscisa dada, $x$, (1), el valor de la derivada de dicha función para dicho valor de la abscisa, calculamos, primero, la función derivada, $f'(x)$, ( a partir de las reglas de derivación ), y, a continuación, sustituimos el símbolo de la variable independiente de dicha función por el valor dado de la abscisa (2).

Ejemplo 1:
  Enunciado:
      Calcular la tasa de variación instantánea de la función $f(x)=x^2$ en el punto de abscisa $x=3$, esto es el valor de la derivada de la función $f(x)$ en $x=3$, es decir, el valor de la función derivada $f'(x)$ para $x=3$.

  Resolución:
      Siendo $f'(x)=2\,x$, obtenemos $f'(3)=2\cdot 3 = 6 \succ 0 \Rightarrow $ la función $f(x)$ es creciente en el punto $(3\,,\,f(3))$.

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Nota 1: ( Significado geométrico de la derivada de una función en un punto de abscisa dada ):
La tasa de variación instantánea ( de la variable dependiente $y$ respecto de la variable independiente $x$ ) de una función, $y=f(x)$, en un punto $P$ representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva ( de ecuación $y=f(x)$ ) en el punto dado, esto es, el valor de la función derivada de la función $f(x)$ en $x=x_P$, esto es el valor de $f'(x_P)$).

Nota 2:   Recordemos que el valor de la derivada de la función en un punto ( la tasa instantánea de variación de la función en un cierto punto ) nos informa de si la función crece o decrece: si el valor de la derivada es negativo, la función decrece; si es positivo, la función crece, y si es cero, la función no crece ni decrece en dicho punto: es un punto estacionario; además, el valor absoluto del valor de la derivada proporciona una medida de la rapidez con que crece/decrece la función en dicho punto: cuanto mayor sea el valor absoluto de la derivada de la función en el punto dado, con mayor rapidez crece/decrece.

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Ejemplo 2:
  Enunciado:
      Encontrar los valores de $x$ para los cuales la función cuadrática $f(x)=x^2-5x+6$ no crece ni decrece, esto es, encontrar las abscisas de los puntos estacionarios y decir las coordenadas del punto correspondiente de la curva $y=f(x)$

  Resolución:
      Siendo la función derivada $f'(x)=2\,x-5$, encontramos solamente un valor de $x$ para el cual el valor de la función derivada ( el valor de la tasa instantánea de variación ) es cero: $x=5/2$; en efecto, al igualar a cero la derivada: $0=2\,x-5$, obtenemos dicho valor como solución de la ecuación), luego en el punto de coordenadas $(5/2\,,f(5/2))$ la función es estacionaria.

Reconocemos en la ecuación de la función dada, el trazo de una parábola, luego el punto estacionario corresponde al vértice de la parábola, que es, en este caso, un mínimo local y también el mínimo absoluto de la función.

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[nota del autor]