Ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en un punto de abscisa dada $x=x_p$

Ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en un punto de abscisa dada $x=x_p$

Sea la función $f(x)$ y un punto de abscisa $x=x_P$. Nos proponemos encontrar la ecuación de la recta tangente, $r$, a la curva $\mathcal{C}:y=f(x)$ en $x=x_P$.

Sabemos que la pendiente, $m$, de la recta secante $r$ viene dada por el valor de la derivada de la función $f$ en el punto dado, esto es $m=f'(x_P)$, luego la ecuación de $r$, en su forma explicita, es $r:y=m\,x+k$, siendo $k$ la ordenada en el origen de la misma; esto es, la función lineal afín que describe dicha recta es
$l(x)=f'(x_P)\,x+k$

Queda por determinar el valor de la ordenada en el origen, $k$. Veamos: como $l(x_P)=f'(x_P)\,x_P+k$ es igual $f(x_P)$, podemos escribir: $f(x_P)=f'(x_P)\,x_P+k$, luego, despejando $k$, obtenemos $k=f(x_P)-f'(x_P)\,x_P$

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa $x_P$ a la curva $f(x)$ viene dada por
$$l(x)=x\,f'(x_P)+f(x_P)-x_{P}\,f'(x_P)$$

Entonces, para valores cercanos a $x_P$, podemos tomar la ordenada $l(x_P)$ como aproximación de $f(x_P)$, esto es $l(x) \approx f(x)$ en la medida que $x \approx x_P$. Por ello, decimos que $l(x)$ ( función lineal afín que corresponden a la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto $x=x_P$ ) aproxima linealmente a $f(x)$ en la vecindad de $x=x_P$

Ejemplo:
  Enunciado:   Encontrar la ecuación de la recta tangente a $f(x)=x^3$ en el punto de abscisa $x=2$
  Resolución:   $f'(x)=3\,x^2$, luego $f'(2)=3\cdot 2^2=12$ y $f(2)=2^3=8$, por tanto $l(x)=12\,x+8-2\cdot 12$, es decir, la recta tangente a la curva $y=x^3$ en el el punto de abscisa $x=2$ es
$r:\,y=12\,x+16$

$\blacksquare$

[nota del autor]