Ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x) en un punto de abscisa dada x=x_p
Sea la función f(x) y un punto de abscisa x=x_P. Nos proponemos encontrar la ecuación de la recta tangente, r, a la curva \mathcal{C}:y=f(x) en x=x_P.
Sabemos que la pendiente, m, de la recta secante r viene dada por el valor de la derivada de la función f en el punto dado, esto es m=f'(x_P), luego la ecuación de r, en su forma explicita, es r:y=m\,x+k, siendo k la ordenada en el origen de la misma; esto es, la función lineal afín que describe dicha recta es
l(x)=f'(x_P)\,x+k
Queda por determinar el valor de la ordenada en el origen, k. Veamos: como l(x_P)=f'(x_P)\,x_P+k es igual f(x_P), podemos escribir: f(x_P)=f'(x_P)\,x_P+k, luego, despejando k, obtenemos k=f(x_P)-f'(x_P)\,x_P
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x_P a la curva f(x) viene dada por
l(x)=x\,f'(x_P)+f(x_P)-x_{P}\,f'(x_P)
Entonces, para valores cercanos a x_P, podemos tomar la ordenada l(x_P) como aproximación de f(x_P), esto es l(x) \approx f(x) en la medida que x \approx x_P. Por ello, decimos que l(x) ( función lineal afín que corresponden a la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto x=x_P ) aproxima linealmente a f(x) en la vecindad de x=x_P
Ejemplo:
Enunciado: Encontrar la ecuación de la recta tangente a f(x)=x^3 en el punto de abscisa x=2
Resolución: f'(x)=3\,x^2, luego f'(2)=3\cdot 2^2=12 y f(2)=2^3=8, por tanto l(x)=12\,x+8-2\cdot 12, es decir, la recta tangente a la curva y=x^3 en el el punto de abscisa x=2 es
r:\,y=12\,x+16
\blacksquare
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