Calcular $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)}{x}$

Enunciado:
Calcular $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)}{x}$
Resolución:
Al pasar al límite, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)}{x}$, obtenemos una indeterminación del tipo $\dfrac{0}{0}$; sin embargo, sabemos que la función $y=\sin(x)$ puede sustituirse por la función $y=x$ para valores muy pequeños de $x$, por ser infinitésimos equivalentes, luego $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x}{x}=1$
Comprobación: ( GeoGebra )

Observación:   Lo mismo ocurre con $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x}{\sin(x)}$, también es igual a $1$, por el mismo razonamiento.

$\blacksquare$

[nota del autor]