Demostrar que no existen los límites $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm\infty}\,\dfrac{x}{\sin(x)}$

Enunciado:
Demostrar que no existen los límites $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm\infty}\,\dfrac{x}{\sin(x)}$
Resolución:
La función del denominador es acotada, $-1\le \sin(x) \le 1$, sin embargo toma valores positivos y negativos de forma alterna y la función del numerador, que es $x$, tiende a infinito, luego el cociente tiende a $\pm \infty$ de forma alterna, es decir, no existe ni el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{x}{\sin(x)}$ ni el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{x}{\sin(x)}$

Comprobación: ( GeoGebra )

$\blacksquare$

[nota del autor]