Regla de derivación de la función recíproca de una función dada, $y=f(x)$

Regla de derivación de la función recíproca de una función biyectiva dada, $y=f(x)$

Recordemos, en primer lugar, que, para que exista función recíproca de una función dada $f$, es necesario que ésta sea biyectiva ( inyectiva y exhaustiva ); por tanto, cabe aquí advertir que no tendrá sentido derivar la función recíproca de una función dada que no sea biyectiva, pongamos por ejemplo $y=x^2$, pues no existe la función recíproca para esta función. En lo que sigue, pues, supondremos que la función $f(x)$ dada sí es biyectiva y, por tanto, que existe función recíproca.

Por comodidad, denotemos por $y_x$ la función directa y por $x_y$ la función inversa, siendo por tanto para ésta $y$ la variable independiente y $x$ la dependiente.

Aplicando la definición de derivada
$$x'_y=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$$
Teniendo en cuenta que $\dfrac{\Delta x}{\Delta y}=\dfrac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}$ y que si $\Delta_y \rightarrow 0$ entonces $\Delta x \rightarrow 0$, y viceversa, entonces
$$x'_y=\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta x}{\Delta y}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{1}{\Delta x / \Delta y}=\displaystyle \dfrac{\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,1}{\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\Delta y / \Delta x}=\dfrac{1}{y'_x}$$

Ejemplo 1 ( Derivada de la función $e^x$, siendo $e$ la base de los logaritmos neperianos ):
Sea $f(x)=\ln(x)$, que, por comodidad, denotamos de la forma, $y_x=\ln(x)$. Sabemos ya derivar esta función, $y'_x=1/x$, y nos proponemos, ahora, deducir la regla de derivación de la función exponencial de base el número $e$, que es la función, $x_y=e^y$, f. recíproca de la función dada. De acuerdo con la propiedad deducida, podemos escribir, $x'_y=1/y'_x$, y, por tanto, $x'_y=\dfrac{1}{1/x_y}=x_y=e^y$; en otras palabras, expresando la f. recíproca de $f$ en función de $x$, podemos resumir el resultado del cálculo expresándolo así: $(f^{-1}(x))^{'}=e^x$.

Ejercicio:
  Enunciado:
    Calcular la derivada de la función $y=2^x$
  Resolución:
Para poder derivar la función exponencial dada, al no ser la base el número $e$, debemos, antes, expresar convenientemente la función dada, en términos de $e$ como base de la potencia; lo haremos como sigue:
Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de la igualdad, $\ln(y)=\ln(2^x)=x\,\ln(2)$; aplicando ahora la propiedad de reciprocidad entre logaritmo y exponencial, $y=e^{x\,\ln(2)}$, con lo cual podemos, ahora, utilizar la regla de derivación de la función compuesta o regla de la cadena ( denominando $t_x=x\,\ln(2)$ ) y aplicando la regla deducida sobre la derivación de la función exponencial: $y'_x=y'_{t} \cdot t'_{x}$, esto es, $y'_x=e^{x\,\ln(2)} \cdot (x\,\ln(2))'_{x}=\ln(2)\,e^{x \,\ln(2)}= 2^x \cdot \ln(2)$

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[nota del autor]