Cálculo de límites resolviendo indeterminaciones del tipo $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ empleando la regla de l'Hôpital

(a)
    Enunciado:
Calcular el valor del siguiente límite
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})^2}{(x-\frac{\pi}{2})^2}$

Resolución:
Por las propiedades elementales del cálculo de límites de las funciones continuas podemos escribir dicho límite de la forma

$\displaystyle \Bigg(\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})}\Bigg)^2$

Calculemos, por tanto, el límite de la base de la potencia

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})}$

al intentar pasar al límite encontramos una indeterminación del tipo

$\frac{0}{0}$

Para resolver dicha indeterminación, haremos uso de la regla de l'Hôpital, pues tanto el numerador como el denominador son infinitésimos, és decir, tienden a cero al pasar al límite

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})} =\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})'}{(x-\frac{\pi}{2})'}$


Con lo cual, derivando (numerador y denominador):

$\big(\cos{x}\big)'=-\sin{x}$

$\big(x-\frac{\pi}{2}\big)'=1$

y, por tanto, el límite anterior es igual a

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, (-\sin{x})=-1$

Finalmente,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})^2}{(x-\frac{\pi}{2})^2} = (-1)^2 = 1$

$\square$

(b)
    Enunciado:

Calcular el valor del siguiente límite
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{3^x-2^x}{x}$

Resolución:
Oservemos que, si pasamos al límite, obtenemos una indeterminación del tipo

$\dfrac{0}{0}$

Para resolverla, podemos emplear la regla de l'Hôpital, puesto que tanto el numerador como el denominador del argumento del límite són infinitésimos

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{3^x-2^x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{(3^x-2^x)'}{(x)'} \quad \quad (1)$

expresaremos, por tanto, las exponenciales en base común $e$, con el objeto de calcular las derivadas:

$3^x=e^{x\,\ln{3}}$

$2^x=e^{x\,\ln{2}}$

calculemos las derivadas de las expresiones del numerador y del denominador:

$(3^x-2^x)'=(\ln{3})\,e^{x\,\ln{3}}-(\ln{2})\,e^{x\,\ln{2}}$

$(x)'=1$

y aplicando la regla de l'Hôpital (1)

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{3^x-2^x}{x} =\lim_{x \rightarrow 0} \, \big((\ln{3})\,e^{x\,\ln{3}}-(\ln{2})\,e^{x\,\ln{2}}\big)$

que es igual a

$\displaystyle \ln{3}\,\Big( \lim_{x \rightarrow 0} \, \big(e^{x\,\ln{3}}\big)\Big) - \ln{2}\, \Big(\lim_{x \rightarrow 0} \, \big(e^{x\,\ln{2}}\big)\Big)=\ln{3}-\ln{2}$

$\square$

[nota del autor]