Entorno a las ideas que conforman la noción ( definición ) de función, es muy importante entender que una relación binaria sólo se podrá considerar una relación funcional cuando ( por definición ) la imagen de todo elemento que forme parte del campo de definición de la misma sea única.
Si bien todas las funciones se pueden expresar mediante una relación algebraica entre las variables, esto es, a partir de una ecuación o un conjunto de ecuaciones, es importante entender que ésto no es exclusivo de las funciones. Podemos poner muchos ejemplos de correspondencias ( relaciones binarias ) entre conjuntos numéricos que no se ciñen a la definición de función, en el sentido apuntado arriba, tal y como ahora vamos a mostrar.
La relación binaria $y=\sqrt{x}$, definida de $\mathbb{R^{+}\cup \{0\}}$ sobre $\mathbb{R}$ no es una función numérica ( aplicación ), pues para un valor cualquiera del campo de existencia ( $\mathbb{R}^{+}\cup \{0\}$ ) existen dos imágenes, tal como se muestra en el siguiente gráfico
De acuerdo con la definición de circunferencia que nos da la geometría elemental, podemos describir este objeto de la forma: $\mathcal{C}:\,(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$, siendo $x$ e $y$ las coordenadas de un punto cualquiera, $P(x,y)$, de la misma; ésto es así porque, al equidistar todo punto $P(x,y)$ de $\mathcal{C}$ del centro $C(x_c,y_c)$ de la misma, por el Teorema de Pitágoras, deducimos sin dificultad la relación que debe cumplir.
Pues bien, no corresponde esa ecuación a una función, porque a cada valor de la variable independiente, $x$, que forme parte del conjunto de valores que definen la curva ( a excepción de los puntos extremos del diámetro horizontal ) le corresponden dos valores de la variable dependiente $y$; sin embargo, es evidente que ese objeto ( circunferencia ) sí podemos también expresarla mediante una ecuación.
$\blacksquare$
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