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domingo, 30 de marzo de 2014

Derivada de la función \sin(x)

Derivada de la función \sin(x):

De la definción de derivada
y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}
podemos escribir
\displaystyle (\sin(x))'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}
utilizando la fórmula del seno del ángulo suma, queda
\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \,\dfrac{\sin(x)\,\cos(\Delta x)+\cos(x)\,\sin(\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}
y sacando factor común, lo podemos expresar de la forma
\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)\big(\cos(\Delta x)-1)\big)+\cos(x)\,\sin(\Delta x)}{\Delta x}
luego, por las propiedades de los límites,
y'=\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)\big(\cos(\Delta x)-1)\big)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(x)\,\sin(\Delta x)}{\Delta x}
y al no depender de \Delta x ni \sin(x) ni \cos(x) llegamos a
y'=\displaystyle \sin(x)\, \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta x)-1}{\Delta x}+\cos(x)\,\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}
Observemos, ahora que:
\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}=1, pues \sin(\Delta x) \sim \Delta x cuando \Delta x \rightarrow 0;
\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta x)-1}{\Delta x}=0, ya que el factor \cos(\Delta x) -1 tiende a cero más rápidamente ( en función de \Delta x ) que la función \Delta x, cuando \Delta x \rightarrow 0


Por consiguiente
y'=\displaystyle \sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1
concluyendo, por tanto, que, dada la funció y=\sin(x), entonces
y'=\displaystyle \cos(x)

En caso de que el argumento de la función seno sea, a su vez, una función de x, deberemos aplicar la regla de la cadena, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:
  Enunciado: Derivar la función y=\sin(x^2)
  Resolución:       Denotemos por t_x la función x^2, entonces, por la regla de la cadena: y'_x = y'_{t}\,t'_x; como y'_t=\cos(t_x)=\cos(x^2) y t'_x=2\,x, llegamos a
y'=2\,x\,\cos(x^2)

\blacksquare

[nota del autor]

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