Derivada de la función $\sin(x)$

Derivada de la función $\sin(x)$:

De la definción de derivada
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$
podemos escribir
$\displaystyle (\sin(x))'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}$
utilizando la fórmula del seno del ángulo suma, queda
$$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \,\dfrac{\sin(x)\,\cos(\Delta x)+\cos(x)\,\sin(\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}$$
y sacando factor común, lo podemos expresar de la forma
$$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)\big(\cos(\Delta x)-1)\big)+\cos(x)\,\sin(\Delta x)}{\Delta x}$$
luego, por las propiedades de los límites,
$$y'=\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(x)\big(\cos(\Delta x)-1)\big)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(x)\,\sin(\Delta x)}{\Delta x}$$
y al no depender de $\Delta x$ ni $\sin(x)$ ni $\cos(x)$ llegamos a
$$y'=\displaystyle \sin(x)\, \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta x)-1}{\Delta x}+\cos(x)\,\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}$$
Observemos, ahora que:
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}=1$, pues $\sin(\Delta x) \sim \Delta x$ cuando $\Delta x \rightarrow 0$;
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta x)-1}{\Delta x}=0$, ya que el factor $\cos(\Delta x) -1$ tiende a cero más rápidamente ( en función de $\Delta x$ ) que la función $\Delta x$, cuando $\Delta x \rightarrow 0$

Por consiguiente

$$y'=\displaystyle \sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1$$
concluyendo, por tanto, que, dada la funció $y=\sin(x)$, entonces
$$y'=\displaystyle \cos(x)$$

En caso de que el argumento de la función seno sea, a su vez, una función de $x$, deberemos aplicar la regla de la cadena, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:
  Enunciado: Derivar la función $y=\sin(x^2)$
  Resolución:       Denotemos por $t_x$ la función $x^2$, entonces, por la regla de la cadena: $y'_x = y'_{t}\,t'_x$; como $y'_t=\cos(t_x)=\cos(x^2)$ y $t'_x=2\,x$, llegamos a
$$y'=2\,x\,\cos(x^2)$$

$\blacksquare$

[nota del autor]