Derivada de la función $x^k$ siendo $k\in \mathbb{R}$

Derivada de la función $x^k$ siendo $k\in \mathbb{R}$

(1) Sea $y=x^k$ con $k \in \mathbb{R}$. Recordemos que una de las primeras reglas de derivación que estudiamos fue una parecida, pero con mucho menor ámbito de aplicación: $y=x^n$ con $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$, siendo dicha derivada $y'=n\,x^{n-1}$. Veremos, ahora, que esta regla se extiende también a exponentes reales, esto es, $y=x^k \rightarrow y'=k\,x^{k-1}$. Vamos a justificar eso.

Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de $y=x^k$ obtenemos $\ln(y)=k\,\ln(x)$, y, derivando en cada miembro ( teniendo en cuenta la regla de la cadena ):
$$\dfrac{1}{y}\,y'=k\,\dfrac{1}{x}$$
despejando $y'$, llegamos a $y'=k\,\dfrac{y}{x}=k\,\dfrac{x^k}{x}=k\,x^{k-1}$

Ejemplo 1:
  Enunciado: Derivar la función $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$
  Resolución: Pongamos por comodidad $y=\sqrt[3]{x^2}$ en forma de potencia con exponente fraccionario: $y=x^{2/3}$. Entonces, aplicando la regla deducida, $y'=\dfrac{2}{3}\,x^{\frac{2}{3}-1}$, es decir, $y'=\dfrac{2}{3}\,x^{-\frac{1}{3}}$, que podemos expresar de la forma $y'=\dfrac{2}{3}\,\dfrac{1}{x^{1/3}}$ y, por tanto, también así: $y'=\dfrac{2}{3}\,\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Ejemplo 2:
  Enunciado: Derivar la función $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$
  Resolución: Pongamos por comodidad $y=1/x^2$ en forma de potencia: $y=x^{-2}$. Entonces, aplicando la regla deducida, $y'=-2\,x^{-2-1}$, es decir, $y'=-2\,x^{-3}$, que podemos expresar de la forma $y'=-2\,\dfrac{1}{x^3}$


$\blacksquare$

[nota del autor]