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viernes, 28 de marzo de 2014

Derivada de la función x^k siendo k\in \mathbb{R}

Derivada de la función x^k siendo k\in \mathbb{R}

(1) Sea y=x^k con k \in \mathbb{R}. Recordemos que una de las primeras reglas de derivación que estudiamos fue una parecida, pero con mucho menor ámbito de aplicación: y=x^n con n \in \mathbb{N} \cup \{0\}, siendo dicha derivada y'=n\,x^{n-1}. Veremos, ahora, que esta regla se extiende también a exponentes reales, esto es, y=x^k \rightarrow y'=k\,x^{k-1}. Vamos a justificar eso.

Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de y=x^k obtenemos \ln(y)=k\,\ln(x), y, derivando en cada miembro ( teniendo en cuenta la regla de la cadena ):
\dfrac{1}{y}\,y'=k\,\dfrac{1}{x}


despejando y', llegamos a y'=k\,\dfrac{y}{x}=k\,\dfrac{x^k}{x}=k\,x^{k-1}

Ejemplo 1:
  Enunciado: Derivar la función f(x)=\sqrt[3]{x^2}
  Resolución: Pongamos por comodidad y=\sqrt[3]{x^2} en forma de potencia con exponente fraccionario: y=x^{2/3}. Entonces, aplicando la regla deducida, y'=\dfrac{2}{3}\,x^{\frac{2}{3}-1}, es decir, y'=\dfrac{2}{3}\,x^{-\frac{1}{3}}, que podemos expresar de la forma y'=\dfrac{2}{3}\,\dfrac{1}{x^{1/3}} y, por tanto, también así: y'=\dfrac{2}{3}\,\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}

Ejemplo 2:
  Enunciado: Derivar la función f(x)=\dfrac{1}{x^2}
  Resolución: Pongamos por comodidad y=1/x^2 en forma de potencia: y=x^{-2}. Entonces, aplicando la regla deducida, y'=-2\,x^{-2-1}, es decir, y'=-2\,x^{-3}, que podemos expresar de la forma y'=-2\,\dfrac{1}{x^3}


\blacksquare

[nota del autor]

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