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viernes, 28 de marzo de 2014

Derivada de la función \ln(x)

Derivada de la función \ln(x):
Por la definición de derivada de una función dada, y=f(x), en un punto de abscisa x,
y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}

luego

\displaystyle y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}

    \displaystyle =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\ln(\dfrac{x+\Delta x}{x})}{\Delta x}

  \displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\bigg(\frac{1}{\Delta x}\,\ln(\dfrac{x+\Delta x}{x})\bigg)

    \displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\ln \bigg(\dfrac{x+\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{1}{\Delta x}}

    \displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\ln \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{1}{\Delta x}}

    \displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\ln \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{1}{\Delta x}}

    \displaystyle=\ln \Big( \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{1}{\Delta x}}\Big)   ( ya que \lim ( \ln (g(x)) ) = \ln ( \lim (g(x)) )

    \displaystyle=\ln \Big( \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{x}{\Delta x}\cdot \frac{1}{x}}\Big)

    \displaystyle=\ln \Bigg( \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \Big( \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{x}{\Delta x}} \Big)^{\frac{1}{x}}\Bigg)

    \displaystyle=\ln \Bigg( \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \Big( \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{x}{\Delta x}} \Big)^{\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \frac{1}{x}}\Bigg)

    \displaystyle=\ln \Big( e^{\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \frac{1}{x}}\Big)

  ( por la propiedad: \displaystyle \lim_{t \rightarrow 0}\, (1+h(t))^{1/h(t)}=e  , donde \displaystyle \lim_{t \rightarrow 0}\,h(t)=0 )

por tanto lo anterior queda igual a

    \displaystyle\ln \Big( e^{\frac{1}{x}}\Big)

    \displaystyle=\dfrac{1}{x}

Resumiendo,

(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}

Ejercicio:
  Enunciado:
    Calcular la derivada de la función y=\log_{10}(x)

  Resolución:
La base del logaritmo es, en este caso, 10, luego para poder aplicar la regla de derivación del logaritmo neperiano debemos, antes, hacer un cambio de base logarítmica, que realizaremos como sigue:
  De y=\log_{10}(x), obtenemos x=10^y ( por la propiedad de reciprocidad de logaritmos y exponenciales ), luego, sacando logaritmos neperianos en cada miembro, \ln(x)=\ln(10^y), de donde, por las propiedades de los logaritmos, y \, \ln(10)=\ln(x), con lo cual, y=\dfrac{1}{\ln(10)}\,\ln(x). Así expresada la función, ya podemos aplicar la regla de derivación:
y'=\big(\dfrac{1}{\ln(10)}\,\ln(x)\big)'=\dfrac{1}{\ln(10)}\,(\ln(x))'=\dfrac{1}{\ln(10)}\,\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x\,\ln(10)}

\blacksquare


[nota del autor]

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