Derivada de la función $\ln(x)$

Derivada de la función $\ln(x)$:
Por la definición de derivada de una función dada, $y=f(x)$, en un punto de abscisa $x$,

$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$

luego

$\displaystyle y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}$

    $\displaystyle =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\ln(\dfrac{x+\Delta x}{x})}{\Delta x}$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\bigg(\frac{1}{\Delta x}\,\ln(\dfrac{x+\Delta x}{x})\bigg)$

    $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\ln \bigg(\dfrac{x+\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{1}{\Delta x}}$

    $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\ln \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{1}{\Delta x}}$

    $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\ln \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{1}{\Delta x}}$

    $\displaystyle=\ln \Big( \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{1}{\Delta x}}\Big)$   ( ya que $\lim ( \ln (g(x)) ) = \ln ( \lim (g(x))$ )

    $\displaystyle=\ln \Big( \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{x}{\Delta x}\cdot \frac{1}{x}}\Big)$

    $\displaystyle=\ln \Bigg( \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \Big( \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{x}{\Delta x}} \Big)^{\frac{1}{x}}\Bigg)$

    $\displaystyle=\ln \Bigg( \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \Big( \bigg(1+\dfrac{\Delta x}{x} \bigg)^{\frac{x}{\Delta x}} \Big)^{\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \frac{1}{x}}\Bigg)$

    $\displaystyle=\ln \Big( e^{\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \frac{1}{x}}\Big)$

  ( por la propiedad: $\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0}\, (1+h(t))^{1/h(t)}=e$  , donde $\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0}\,h(t)=0$ )

por tanto lo anterior queda igual a

    $\displaystyle\ln \Big( e^{\frac{1}{x}}\Big)$

    $\displaystyle=\dfrac{1}{x}$

Resumiendo,

$$(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$$

Ejercicio:
  Enunciado:
    Calcular la derivada de la función $y=\log_{10}(x)$

  Resolución:
La base del logaritmo es, en este caso, $10$, luego para poder aplicar la regla de derivación del logaritmo neperiano debemos, antes, hacer un cambio de base logarítmica, que realizaremos como sigue:
  De $y=\log_{10}(x)$, obtenemos $x=10^y$ ( por la propiedad de reciprocidad de logaritmos y exponenciales ), luego, sacando logaritmos neperianos en cada miembro, $\ln(x)=\ln(10^y)$, de donde, por las propiedades de los logaritmos, $y \, \ln(10)=\ln(x)$, con lo cual, $y=\dfrac{1}{\ln(10)}\,\ln(x)$. Así expresada la función, ya podemos aplicar la regla de derivación:
$$y'=\big(\dfrac{1}{\ln(10)}\,\ln(x)\big)'=\dfrac{1}{\ln(10)}\,(\ln(x))'=\dfrac{1}{\ln(10)}\,\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x\,\ln(10)}$$

$\blacksquare$

[nota del autor]