Derivada de la función $\tan(x)$

Derivada de la función $\tan(x)$:

Por definición, $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$, luego la derivada pedida pasa por determinar la derivada de una función cociente, cuya regla de derivación ya conocemos, así como conocemos, también, las derivadas de las funciones seno y coseno, que son $\cos(x)$ y $-\sin(x)$, respectivamente.

Por lo tanto, podemos escribir que
$$(\tan(x))'=\dfrac{(\sin(x))'\,\cos(x)-\sin(x)\,(\cos(x))'}{(\cos(x))^2}$$
es decir
$$(\tan(x)')=\dfrac{\cos(x)\cdot \cos(x)-\sin(x)\,(-\sin(x))}{(\cos(x))^2}=\dfrac{(\cos(x))^2+(\sin(x))^2}{(\cos(x))^2}$$
y teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría - esto es: $(\cos(x))^2+(\sin(x))^2=1$ para todo valor del ángulo $x$ - nos queda
$$(\tan(x)')=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$$
donde, por comodidad, expresamos el coseno al cuadrado de $x$ como $\cos^2(x)$.

En caso de que el argumento de la función tangente no dependa directamente de $x$, deberemos utilizar la ya conocida regla de la cadena, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:
  Enunciado: Derivar la función $y=\tan(x^2)$
  Resolución:       Denotemos por $t_x$ la función $x^2$, entonces, por la regla de la cadena: $y'_x = y'_{t}\,t'_x$; como $y'_t=\dfrac{1}{\cos^2(x^2)}$ y $t'_x=2\,x$, llegamos a
$$y'=\dfrac{2\,x}{\cos^{2}(x^2)}$$

$\blacksquare$

[nota del autor]