Derivada de la función recíproca de la función coseno

Derivada de la función recíproca de la función coseno:

Dada la función coseno, $f(x)=\cos(x)$, en principio definida de $\mathbb{R}$ sobre $[-1,1]\subset \mathbb{R}$, al ser periódica, no es inyectiva, luego no posee función recíproca, por lo cual debemos ajustar su dominio de existencia con el fin de partir de una función directa inyectiva y, así, poder hablar de su función recíproca. Volvamos, pues, a definir su dominio de existencia de la siguiente manera: $$[0\,,\pi]\subset \mathbb{R} \overset{f}{\longrightarrow} [-1\,,\,1] \subset \mathbb{R}$$
$$x \mapsto f(x)=\cos(x)$$
Ahora, al ser, ahora, la función directa una función inyectiva, la función recíproca existe y es la siguiente ( Nota: expresaremos el valor de los ángulos en radianes ):
$$[-1\,,1]\subset \mathbb{R} \overset{f^{-1}}{\longrightarrow} [0\,,\pi] \subset \mathbb{R}$$
$$x \mapsto f^{-1}(x)=\arccos(x)$$
( la figura lo ilustra )

Procedamos, pues, a derivar la función recíproca; para ello, y por comodidad en los pasos que siguen, vamos a notar la función directa $f(x)=\cos(x)$ de la forma $y_x=\cos(x)$, con lo cual, la función recíproca la denotaremos por $x_y$ ( la variable independiente de la directa hace el papel, ahora, de variable dependiente, y, viceversa ). Recordemos, también, la propiedad fundamental que dedujimos para poder obtener la derivada de la función recíproca de una función inyectiva dada: $$x'_y=\dfrac{1}{y'_x}$$

Entonces, $x'_y\overset{(1)}{=}\dfrac{1}{-\sin(x)}=\dfrac{1}{-\sqrt{1-\cos^2{x}}}=\dfrac{1}{-\sqrt{1-y^2}}$. Finalmente, en lugar de notar la función recíproca de la forma $x_y=\dfrac{1}{-\sqrt{1-y^2}}$, volvemos a notar por $x$ la variable independiente ( como es habitual ) y a notar la función recíproca de $f(x)$ por $f^{-1}(x)$. En resumen: $(f^{-1}(x))^{'}=\dfrac{1}{-\sqrt{1-x^2}}$ para $x\in [-1\,,\,1]\subset \mathbb{R}$

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Nota 1:
Siendo $y_x=\cos(x)$, entonces $y'_x=-\sin(x)$
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$\blacksquare$

[nota del autor]