Regla de derivación de una función del tipo $f(x)+g(x)$, siendo $f(x),g(x)$ funciones derivables

Regla de derivación de una función del tipo $f(x)+g(x)$, siendo $f(x),g(x)$ funciones derivables
Aplicando la definición de derivada
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$
entonces
$\displaystyle y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x+\Delta x)+g(x + \Delta x)-(f(x)+g(x))}{\Delta x}$
    $\displaystyle=\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x)+g(x)+\Delta(f(x)+g(x))-(f(x)+g(x))}{\Delta\,x}$
    $\displaystyle=\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta(f(x)+g(x))}{\Delta\,x}$
    $\displaystyle=\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta(f(x))}{\Delta\,x}+\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta(g(x))}{\Delta\,x}$
    $=f'(x)+g'(x)$

Ejemplo:
Sea $y=x^3+x^2$, entonces $y'=(x^3)'+(x^2)'=3\,x^2+2\,x$

$\blacksquare$

[nota del autor]