La cantidad de información, expresada megabyte ( Mb ), descargada mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de telefonía móvil se puede aproximar por una distribución normal con media $3'5$ Mb y desviación típica igual a $1'4$ Mb. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $n=49$. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a $3'37$ Mb ? b) Supóngase ahora que la media poblacional, $\mu$, es desconocida y que la media muestral, $\bar{x}$, toma el valor de $3'42$ Mb. Obténgase un intervalo de confianza al $95\,\%$ para la media de la población.

Enunciado:
La cantidad de información, expresada megabyte ( Mb ), descargada mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de
telefonía móvil se puede aproximar por una distribución normal con media $3'5$ Mb y
desviación típica igual a $1'4$ Mb. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $n=49$.
  a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a $3'37$ Mb ?
  b) Supóngase ahora que la media poblacional, $\mu$, es desconocida y que la media muestral, $\bar{x}$, toma el valor de $3'42$ Mb. Obténgase un intervalo de confianza al $95\,\%$ para la media de la población.

Resolución:
El estimador, $\bar{x}$, de la media poblacional, $\mu$, tiene una distribución en el muestreo $\bar{x} \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, donde la desviación típica de la variable aleatoria del estimador $\bar{x}$ en el muestreo es $\sigma(\bar{x})=\sigma/\sqrt{n}$ ( Teorema Central del Límite ), es decir, en nuestro caso, $\bar{x} \sim N(3'5\,,\,1'4/\sqrt{49})$, esto es, $\bar{x} \sim N(3'5\,,\,0'2)$.

a)
$P\{\bar{x} \prec 3'37\}=P\{Z \le \dfrac{337-3'5}{0'2}\}$   ( tipificando la variable $\bar{x}$ )
  $=P\{Z \le -0'65\}$
  $=P\{Z \ge 0'65\}$   ( por la simetría de la función de densidad $f(z)$ )
  $=1-P\{Z \le 0'65\}$   ( por la propiedad del contrario )
  $\approx 1-0'7422 = 0'2578$

b)
Partimos, ahora, de $X \sim N(\mu\,,\,1'4)$ ( $\mu$, desconocida, y media muestral observada: $\bar{x}=3'42$ ). Entonces, el intervalo de confianza, a nivel de confianza $1-\alpha=0'95$, es $I=[\bar{x}-z_{\alpha/2}\cdot \sigma /\sqrt{n}\,,\,\bar{x}+z_{\alpha/2}\cdot \sigma /\sqrt{n}]$, siendo la abscisa $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=1'96$, pues $z_{0'05/2}$ es tal que $P\{Z \le z_{0'05/2}\}=1-0'05/2$, y, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad, $F(z)$, encontramos $z_{0'05/2}=1'96$. Así,pues, poniendo los datos del problema, encontramos: $I=[3'42-0'95 \cdot 1'4/\sqrt{49}\,,\,3'42+0'95 \cdot 1'4/\sqrt{49}]$, esto es, $I=[3'028\,,\,3'812]$

$\blacksquare$

[nota del autor]