Derivada de la función recíproca de la función tangente

Derivada de la función recíproca de la función tangente:

Dada la función coseno, $f(x)=\cos(x)$, en principio definida de $\mathbb{R}$ ( es decir en $(-\infty\,,\,+\infty)\equiv \mathbb{R}$ ) sobre $(-\infty\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$, al ser periódica, no es inyectiva, luego no posee función recíproca, por lo cual debemos ajustar su dominio de existencia con el fin de partir de una función directa inyectiva y, así, poder hablar de su función recíproca. Además, la función tangente es discontinua en los infinitos valores de $x$ del tipo $\dfrac{2n+1}{2}\,\pi \quad \text{para} \,n\in \mathbb{Z}$ y, por tanto, no es derivable en los mismos. Volvamos, pues, a definir su dominio de existencia de la siguiente manera: $$(-\pi/2\,,\pi/2)\subset \mathbb{R} \overset{f}{\longrightarrow} (-\infty\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$$
$$x \mapsto f(x)=\tan(x)$$
Ahora, al ser, ahora, la función directa una función inyectiva y continua, la función recíproca existe y es derivable en todos los puntos; es la siguiente ( Nota: expresaremos el valor de los ángulos en radianes ):
$$(-\infty\,,+\infty) \equiv \mathbb{R} \overset{f^{-1}}{\longrightarrow} (-\pi/2\,,\pi/2) \subset \mathbb{R}$$
$$x \mapsto f^{-1}(x)=\arccos(x)$$
( la figura lo ilustra )

Procedamos, pues, a derivar la función recíproca; para ello, y por comodidad en los pasos que siguen, vamos a notar la función directa $f(x)=\tan(x)$ de la forma $y_x=\tan(x)$, con lo cual, la función recíproca la denotaremos por $x_y$ ( la variable independiente de la directa hace el papel, ahora, de variable dependiente, y, viceversa ). Recordemos, también, la propiedad fundamental que dedujimos para poder obtener la derivada de la función recíproca de una función inyectiva dada: $$x'_y=\dfrac{1}{y'_x}$$

Entonces, $x'_y\overset{(1)}{=}\dfrac{1}{1/\cos^2{x}}\overset{(2)}{=}\dfrac{1}{1+\tan^2(x)}=\dfrac{1}{1+y^2}$. Finalmente, en lugar de notar la función recíproca de la forma $x_y=\dfrac{1}{1+y^2}$, volvemos a notar por $x$ la variable independiente ( como es habitual ) y a notar la función recíproca de $f(x)$ por $f^{-1}(x)$. En resumen: $(f^{-1}(x))^{'}=\dfrac{1}{1+x^2}$ para $x\in (-\infty\,,\,+\infty) \equiv \mathbb{R}$

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Nota 1:
Recordemos que siendo $y_x=\tan(x)$, entonces $y'_x=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$

Nota 2:
De la identidad fundamental de la trigonometría, $\sin^2 x +\cos^2 x = 1$, dividiendo ambos miembros por $\cos^2 x$, obtenemos: $\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+ \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=\dfrac{1}{\cos^2 x}$, esto es, $\dfrac{1}{\cos^2 x}= \tan^2 x + 1$
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[nota del autor]

Derivada de la función $\tan(x)$

Derivada de la función $\tan(x)$:

Por definición, $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$, luego la derivada pedida pasa por determinar la derivada de una función cociente, cuya regla de derivación ya conocemos, así como conocemos, también, las derivadas de las funciones seno y coseno, que son $\cos(x)$ y $-\sin(x)$, respectivamente.

Por lo tanto, podemos escribir que
$$(\tan(x))'=\dfrac{(\sin(x))'\,\cos(x)-\sin(x)\,(\cos(x))'}{(\cos(x))^2}$$
es decir
$$(\tan(x)')=\dfrac{\cos(x)\cdot \cos(x)-\sin(x)\,(-\sin(x))}{(\cos(x))^2}=\dfrac{(\cos(x))^2+(\sin(x))^2}{(\cos(x))^2}$$
y teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría - esto es: $(\cos(x))^2+(\sin(x))^2=1$ para todo valor del ángulo $x$ - nos queda
$$(\tan(x)')=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$$
donde, por comodidad, expresamos el coseno al cuadrado de $x$ como $\cos^2(x)$.

En caso de que el argumento de la función tangente no dependa directamente de $x$, deberemos utilizar la ya conocida regla de la cadena, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:
  Enunciado: Derivar la función $y=\tan(x^2)$
  Resolución:       Denotemos por $t_x$ la función $x^2$, entonces, por la regla de la cadena: $y'_x = y'_{t}\,t'_x$; como $y'_t=\dfrac{1}{\cos^2(x^2)}$ y $t'_x=2\,x$, llegamos a
$$y'=\dfrac{2\,x}{\cos^{2}(x^2)}$$

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[nota del autor]