Enunciado:
Se supone que el gasto que hacen los individuos de una determinada población en regalos de Navidad se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \mu y desviación típica \sigma=45 \, \text{\euro}.
(a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene el intervalo de confianza (251'6\,,\,271'2) para \mu, con un nivel de confianza del 1-\alpha=95\,\%. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
(b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño n=64 para estimar \mu. Calcúlese el error máximo para esa estimación con un nivel de confianza del 1-\alpha=95\,\%
Resolución:
Siendo X \sim N(\mu\,,\,45), entonces el intervalo de confianza, a nivel de confianza 1-\alpha, viene dado por I=[\bar{x}-z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}\,,\,\bar{x}+z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}] ( Teorema Central del Límite ), siendo la abcisa z_{\alpha/2} tal que P\{Z \ge z_{\alpha/2}\}=\alpha /2, esto es, P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2; en nuestro caso, P\{Z \le z_{0'05/2}\}=1-0'05/2, y, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad, F(z), encontramos z_{0'05/2}=1'96, luego el intervalo de confianza es I=[\bar{x}-1'96 \cdot 45/\sqrt{n}\,,\,\bar{x}+1'96 \cdot 45/\sqrt{n}].
Conociendo los extremos de dicho intervalo, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
\left\{\begin{matrix} \bar{x}-1'96 \cdot 45/\sqrt{n}=251'6 \\ \\\bar{x}+1'96 \cdot45/\sqrt{n}=251'6 \\ \end{matrix}\right.
es decir
\left\{\begin{matrix} 88'2/\sqrt{n}=\bar{x}-251'6\\ \\ 88'2/\sqrt{n}=-\bar{x}+271'6\\ \end{matrix}\right.
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, llegamos a
2\cdot 88'2/\sqrt{n}=271'2-251'6, de donde, obtenemos \sqrt{n}=9, y, por tanto, n=81.
Sustituyendo el valor de n en cualquiera de las dos ecuaciones, encontramos el valor de la media muestral: \bar{x}=261'4
Observación:
Otra manera de resolver el problema consiste, simplemente, en calcular el valor de la media muestral a partir de la semisuma de los extremos del intervalo de confianza:
\bar{x}=\dfrac{251'6+271'2}{2}=261'4
y, a partir de este valor, encontramos el del tamaño de la muestra, pues conocemos el valor de los extremos del intervalo de confianza; así, \bar{x}-1'96\cdot 45/\sqrt{n}=251'6, y, de aquí, 261'4-1'96\cdot 45/\sqrt{n}=251'6 llegamos a n=81; o bien, de forma equivalente, 261'4+1'96\cdot 45/\sqrt{n}=271'2
\blacksquare
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