Se supone que el gasto que hacen los individuos de una determinada población en regalos de Navidad se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica igual a $45 \, \text{\euro}$. (a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene el intervalo de confianza $(251'6\,,\,271'2)$ para $\mu$, con un nivel de confianza del $95\,\%$. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida. (b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $n=64$ para estimar $\mu$. Calcúlese el error máximo para esa estimación con un nivel de confianza del $90\,\%$

Enunciado:
Se supone que el gasto que hacen los individuos de una determinada población en regalos de Navidad se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma=45 \, \text{\euro}$.
  (a) Se toma una muestra aleatoria simple y se obtiene el intervalo de confianza $(251'6\,,\,271'2)$ para $\mu$, con un nivel de confianza del $1-\alpha=95\,\%$. Calcúlese la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
  (b) Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $n=64$ para estimar $\mu$. Calcúlese el error máximo para esa estimación con un nivel de confianza del $1-\alpha=95\,\%$

Resolución:
Siendo $X \sim N(\mu\,,\,45)$, entonces el intervalo de confianza, a nivel de confianza $1-\alpha$, viene dado por $I=[\bar{x}-z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}\,,\,\bar{x}+z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}]$ ( Teorema Central del Límite ), siendo la abcisa $z_{\alpha/2}$ tal que $P\{Z \ge z_{\alpha/2}\}=\alpha /2$, esto es, $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2$; en nuestro caso, $P\{Z \le z_{0'05/2}\}=1-0'05/2$, y, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad, $F(z)$, encontramos $z_{0'05/2}=1'96$, luego el intervalo de confianza es $I=[\bar{x}-1'96 \cdot 45/\sqrt{n}\,,\,\bar{x}+1'96 \cdot 45/\sqrt{n}]$.

Conociendo los extremos de dicho intervalo, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{matrix} \bar{x}-1'96 \cdot 45/\sqrt{n}=251'6 \\ \\\bar{x}+1'96 \cdot45/\sqrt{n}=251'6 \\ \end{matrix}\right.$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix} 88'2/\sqrt{n}=\bar{x}-251'6\\ \\ 88'2/\sqrt{n}=-\bar{x}+271'6\\ \end{matrix}\right.$$
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, llegamos a
$2\cdot 88'2/\sqrt{n}=271'2-251'6$, de donde, obtenemos $\sqrt{n}=9$, y, por tanto, $n=81$.

Sustituyendo el valor de $n$ en cualquiera de las dos ecuaciones, encontramos el valor de la media muestral: $\bar{x}=261'4$

Observación:
Otra manera de resolver el problema consiste, simplemente, en calcular el valor de la media muestral a partir de la semisuma de los extremos del intervalo de confianza:
$$\bar{x}=\dfrac{251'6+271'2}{2}=261'4$$
y, a partir de este valor, encontramos el del tamaño de la muestra, pues conocemos el valor de los extremos del intervalo de confianza; así, $\bar{x}-1'96\cdot 45/\sqrt{n}=251'6$, y, de aquí, $261'4-1'96\cdot 45/\sqrt{n}=251'6$ llegamos a $n=81$; o bien, de forma equivalente, $261'4+1'96\cdot 45/\sqrt{n}=271'2$
$\blacksquare$

[nota del autor]