Processing math: 100%

lunes, 31 de marzo de 2014

Sea la función f(x)=2\,x^3-6\,x+1. Se pide:   a) Demostrar que f(x) tiene por lo menos una raíz en el intervalo (0\,,\,1)\subset \mathbb{R}   b) Demostrar que f(x) tiene una única raíz en el intervalo (0\,,\,1)\subset \mathbb{R}

Enunciado:
Sea la función f(x)=2\,x^3-6\,x+1. Se pide:
  a) Demostrar que f(x) tiene por lo menos una raíz en el intervalo (0\,,\,1)\subset \mathbb{R}
  b) Demostrar que f(x) tiene una única raíz en el intervalo (0\,,\,1)\subset \mathbb{R}

Resolución:
a)
La función f(x) es una f. polinómica y por tanto es continua en [0\,,\,1] y derivable en (0\,,\,1). Habiendo un cambio de signo en los valores de dicha función en los extremos de la misma ( en efecto: f(0)=1 \succ 0 y f(1)=-3 \prec 0 ), según el Teorema de Bolzano, tiene que tener por lo menos una raíz en el intervalo (0\,,\,1).

b)
Vamos a demostrar que solamente hay una raíz de f(x) en el intervalo (0\,,\,1)\subset \mathbb{R}; para ello, recurriremos al método de reducción al absurdo: supongamos que haya dos raíces, r_1 y r_2, entonces f(r_1)=f(r_2) ( el valor de la función en dichos puntos es 0 ), luego por el Teorema de Rolle, debería haber por lo menos un valor de x, tal que 0 \prec x \prec 1 , tal que f'(x)=0. Veamos, pues, si la función derivada f'(x) se anula para algún valor en dicho intervalo (0\,,\,1): f'(x)=6\,x^2-6=0 \Leftrightarrow x=\pm 1, luego como -1 \notin (0\,,\,1) y 1 \notin (0\,,\,1), llegamos a una contradicción con lo supuesto al principio de nuestro razonamiento, luego queda demostrado que no hay más de una raíz en el intervalo (0\,,\,1).

Comprobación ( con GeoGebra ):

\blacksquare


[nota del autor]

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Gracias por tus comentarios