Sea la función $f(x)=2\,x^3-6\,x+1$. Se pide: a) Demostrar que $f(x)$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $(0\,,\,1)\subset \mathbb{R}$ b) Demostrar que $f(x)$ tiene una única raíz en el intervalo $(0\,,\,1)\subset \mathbb{R}$

Enunciado:
Sea la función $f(x)=2\,x^3-6\,x+1$. Se pide:
  a) Demostrar que $f(x)$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $(0\,,\,1)\subset \mathbb{R}$
  b) Demostrar que $f(x)$ tiene una única raíz en el intervalo $(0\,,\,1)\subset \mathbb{R}$

Resolución:
a)
La función $f(x)$ es una f. polinómica y por tanto es continua en $[0\,,\,1]$ y derivable en $(0\,,\,1)$. Habiendo un cambio de signo en los valores de dicha función en los extremos de la misma ( en efecto: $f(0)=1 \succ 0$ y $f(1)=-3 \prec 0$ ), según el Teorema de Bolzano, tiene que tener por lo menos una raíz en el intervalo $(0\,,\,1)$.

b)
Vamos a demostrar que solamente hay una raíz de $f(x)$ en el intervalo $(0\,,\,1)\subset \mathbb{R}$; para ello, recurriremos al método de reducción al absurdo: supongamos que haya dos raíces, $r_1$ y $r_2$, entonces $f(r_1)=f(r_2)$ ( el valor de la función en dichos puntos es $0$ ), luego por el Teorema de Rolle, debería haber por lo menos un valor de $x$, tal que $0 \prec x \prec 1 $, tal que $f'(x)=0$. Veamos, pues, si la función derivada $f'(x)$ se anula para algún valor en dicho intervalo $(0\,,\,1)$: $f'(x)=6\,x^2-6=0 \Leftrightarrow x=\pm 1$, luego como $-1 \notin (0\,,\,1)$ y $1 \notin (0\,,\,1)$, llegamos a una contradicción con lo supuesto al principio de nuestro razonamiento, luego queda demostrado que no hay más de una raíz en el intervalo $(0\,,\,1)$.

Comprobación ( con GeoGebra ):

$\blacksquare$

[nota del autor]