Aplicación directa de la definición de derivada de una función en un punto

Enunciado:
Calcular el valor de la derivada de la función $y=x^2$ en el punto de abscisa $x=3$, aplicando directamente la definición de derivada de una función en un punto, es decir, sin usar las reglas de derivación que, precisamente, se deducen para un punto genérico y con las cuales podemos derivar de manera rápida y eficaz.

Resolución:
De la definición de derivada de una función en un punto dado $P$, de abscisa $x_P$, podemos escribir:
$f'(3)=\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{(3+\Delta x)^2-3^2}{\Delta x}$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{3^2+2\cdot 3\,\Delta x-(\Delta x)^2}{\Delta x}$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{ 6\,\Delta x-(\Delta x)^2}{\Delta x}$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\Delta x \big(\dfrac{ 6\,-\Delta x}{\Delta x}\big)$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta x}{\Delta x}\, (6\,-\Delta x)$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, 1 \cdot ( 6\,-\Delta x)$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, ( 6\,-\Delta x)$

  $\displaystyle=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, 6-\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\, \Delta x$

  $\displaystyle=6-0$

  $\displaystyle=6$

$\blacksquare$

[nota del autor]