Regla de derivación de una función del tipo $y=k\,g(x)$, siendo $k \in \mathbb{R}$ y $g(x)$ una función derivable

Regla de derivación de una función del tipo $k\,g(x)$, siendo $k \in \mathbb{R}$ y $g(x)$ una función derivable
Aplicando la definición de derivada
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$
entonces
$$y'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{k\,(f(x)+\Delta(f(x))-k\,f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{k\,\Delta(f(x))}{\Delta\,x}$$
y, por las propiedades elementales de límite, nos queda
$$\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,k \cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta(f(x))}{\Delta\,x}$$
que es igual a $$k \cdot f'(x)$$

Ejemplo:
Sea $y=5\,x^2$, entonces $y'=5\,(x^2)'=5\cdot (2\,x)=10\,x$

$\blacksquare$

[nota del autor]