Derivada de la función f compuesta por g: $g \circ f$

Derivada de la función f compuesta por g: $g \circ f$
Sean las funciones derivables $f,g$ definidas de \mathbb{R} sobre \mathbb{R} y sea la función $g \circ f$, y que, por tanto, actua de la forma $(g \circ f)(x)=g(f(x))$. Nos proponemos encontrar la regla de derivación de dicha función compuesta.

Por la definición de derivada de una función en un punto:
$$y'_x=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta g_x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\bigg(\dfrac{\Delta g_f}{\Delta f_x}\cdot \dfrac{\Delta f_x}{\Delta x}\bigg)$$
Teniendo en cuenta, ahora, que al hacer tender a $0$ $\Delta x$, también tiende a cero $\Delta f_x$ también lo hace, de lo anterior se desprende que
$$\lim_{\Delta f_x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta g_f}{\Delta f_x} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta f_x}{\Delta x}$$
es decir
$$y'_x=g'_f \cdot f'_x$$

Ejemplo 1:
  Enunciado:
    Sea la función $y=(4x+5)^4$. Calcular la función derivada ( regla de la derivada del producto de funciones ).
    Resolución:
Denotemos por $t_x$ a $4x+5$, entonces: $y_x=t_x^{4}$, luego $y'_x=4\,t_x^{3}\cdot (t_x)'= 4\,(4x+5)^{3}\cdot (4x+5)'_x=4\,(4x+5)^{3}\cdot 4=16\,(4x+5)^3$

Ejercicio 1:
  Enunciado:
    Sea la función producto de funciones: $y_x=u_x \cdot v_x$. Calcular la función derivada.
    Resolución:
Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de la ecuación,
  $\ln(y_x)=\ln(u_x \cdot v_x)$
y, por las propiedades de los logaritmos, podremos escribirlo así:
  $\ln(y_x)=\ln(u_x)+\ln(v_x)$
derivando en cada miembro respecto de $x$ ( teniendo en cuenta la cadena o de composición de funciones ):
  $\dfrac{1}{y_x}\cdot y'_x=\dfrac{1}{u_x}\cdot u'_x+\dfrac{1}{v_x}\cdot v'_x$
luego
  $y'_x=(\dfrac{1}{u_x}\cdot u'_x+\dfrac{1}{v_x}\cdot v'_x)\cdot y_x$
es decir
  $y'_x=(\dfrac{1}{u_x}\cdot u'_x+\dfrac{1}{v_x}\cdot v'_x) \cdot u_x \, v_x$
y, simplificando, queda
  $y'_x=u_x \cdot u'_x+v_x\cdot v'_x$

Ejemplo 1.1:
  Enunciado:
    Sea la función $y=x\cdot e^x$. Calcular la función derivada.
    Resolución:
Denotemos por $u_x$ el factor $x$ y por $v_x$ el factor $e^x$, entonces: $y'_x=(x\,e^x)'=(x)'\,e^x+x\,(e^x)'=1\cdot e^x + x\,e^x=(1+x)\,e^x$

Ejemplo 1.2:
Procedemos, ahora, a derivar la función $y=x^x$. Sacando logaritmos en cada miembro, $\ln(y)=x\,\ln(x)$, y, derivando cada unos de los miembros aplicando la regla de la cadena y la regla del producto de funciones: $\dfrac{1}{y}\,y'=(x)'\,\ln(x)+x\,(\ln(x))'$, es decir, $\dfrac{1}{y}\,y'=1\cdot \ln(x)+x\,\dfrac{1}{x}$; despejando, ahora, $y'$ del primer miembro: $y'= y\, ( 1\cdot \ln(x)+x\,\dfrac{1}{x} )$, esto es, $y'= x^{x}\, ( \ln(x)+1)$

Ejercicio 2:
  Enunciado:
    Sea la función producto de funciones: $y_x=\dfrac{u_x}{v_x}$. Calcular la función derivada ( regla de la derivada del cociente de funciones ).
    Resolución:
Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de la ecuación,
  $\ln(y_x)=\ln( u_x / v_x)$
y, por las propiedades de los logaritmos, podremos escribirlo así:
  $\ln(y_x)=\ln(u_x)-\ln(v_x)$
derivando en cada miembro respecto de $x$ ( teniendo en cuenta la cadena o de composición de funciones ):
  $\dfrac{1}{y_x}\cdot y'_x=\dfrac{1}{u_x}\cdot u'_x-\dfrac{1}{v_x}\cdot v'_x$
luego
  $y'_x=(\dfrac{1}{u_x}\cdot u'_x+\dfrac{1}{v_x}\cdot v'_x)\cdot y_x$
es decir
  $y'_x=(\dfrac{1}{u_x}\cdot u'_x+\dfrac{1}{v_x}\cdot v'_x) \cdot \dfrac{u_x}{v_x}$
simplificando, queda
  $y'_x=\dfrac{u'_x}{v_x}-\dfrac{v'_x \cdot u_x}{v^{2}_{x}}$
y, finalmente, reduciendo a común denominador el segundo miembro,
  $y'_x=\dfrac{v_x\cdot u'_x}{v^{2}_{x}}-\dfrac{v'_x \cdot u_x}{v^{2}_{x}}$
es decir
  $y'_x=\dfrac{v_x\cdot u'_x-v'_x \cdot u_x}{v^{2}_{x}}$

Ejemplo 2.1:
  Enunciado:
    Sea la función $y=\dfrac{x}{e^x}$. Calcular la función derivada.
    Resolución:
Denotemos por $u_x$ el factor $x$ y por $v_x$ el factor $e^x$, entonces: $y'_x=(\dfrac{x}{e^x})'=\dfrac{(x)'\,e^x-x\,(e^x)'}{(e^x)^2}=\dfrac{1\cdot e^x-x\,e^x}{e^{2x}}=\dfrac{e^{x}\,(1-x)}{e^{2x}}$
que, simplificando es igual a $\dfrac{1-x}{e^x}$, que también puede expresarse de la forma $(1-x)\,e^{-x}$

$\blacksquare$

[nota del autor]