a) Analizar y dibujar la gráfica de la función
b) Calcular una primitiva de la función $g(x):=f(x)+\dfrac{1}{x^2}$
c) Calcular la integral definida $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,g(x)\,dx$
SOLUCIÓN.
a)
i) Dominio de definición de la función:
Al anularse el denominador ( y no el numerador ) para $x=0$, la función no está definida en dicho punto, luego $D_f=\mathbb{R} \setminus\{0\}$
ii) Raíces ( ceros ) de la función:
El conjunto de valores de la variable independiente cuya imagen es cero se determina resolviendo dicha condición, $f(x)=0$, es decir $$\dfrac{x^3-1}{x^2}=0\Leftrightarrow x^3-1=0 \Leftrightarrow x=1$$
así, pues, existe una única raíz: $x=1$
iii) Ordenada en el origen de la función:
Por lo dicho en relación al dominio de definición, se desprende de ello que la gráfica de la función no corta al eje de ordenadas a distancia finita.
iv) Recorrido de la función:
Observemos que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x)=+\infty$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)=-\infty$, de lo que se deduce que $\text{Recorrido}_f = \mathbb{R}$
v) Extremos relativos:
Imponiendo la condición necesaria de extremos relativos, $f'(x)=0$, obtendremos una ecuación cuyas soluciones son las abscisas de dichos puntos de la gráfica $$f'(x)=1+\dfrac{3}{x^3}=0 \Leftrightarrow x=(-3)^{\frac{1}{3}} \approx -1,4$$; y su ordenada es $f\left( (-3)^{\frac{1}{3}} \right) = - 4\cdot 3^{-\frac{2}{3}} \approx -1,9$. Veamos qué tipo de extremo relativo es; para ello utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada. Derivando la función primera derivada, obtenemos la función segunda derivada, $$f''(x)=-\dfrac{12}{x^4}$$ y su valor para $x= (-3)^{\frac{1}{3}} $ es $f''\left( (-3)^{\frac{1}{3}} \right) = - \dfrac{12}{(-3)^{\frac{4}{3}}} \prec 0$, luego se trata de un máximo local. Hay, por tanto, un máximo local/relativo en el punto de la gráfica $M=\left( (-3)^{\frac{1}{3}} \,,\,- 4\cdot 3^{-\frac{2}{3}}\right)$
vi) Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Teniendo en cuenta lo que hemos hecho en el apartado anterior, vemos que la derivada primera es positiva en todos los puntos del intervalo $(-\infty\,,\, (-3)^{\frac{1}{3}} ) \subset D_f$ y del intervalo $( 0\,,\,+\infty) \subset D_f$, luego la función crece en ambos intervalos; por otra parte, la derivada primera es negativa en los puntos del intervalo $((-3)^{\frac{1}{3}}\,,\,0 ) \subset D_f$, luego la función es decreciente en todos los puntos de dicho intervalo.
vii) Puntos de inflexión:
No hay, puesto que la función segunda derivada, $f''(x)=-\dfrac{12}{x^4}$, no se anula en ningún punto; así, pues, teniendo en cuenta el carácter del extremo relativo ( que es el mismo que el de los demás puntos, salvo $x=0$, en la que la función no está definida ), podemos afirmar que la función es cóncava en todo el dominio de definición.
viii) Rectas asíntotas verticales:
Teniendo en cuenta que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} = -\infty$, la función $f(x)$ presenta una asíntota vertical cuya ecuación es $x=0$, que es el eje de ordenadas.
ix) Rectas asíntotas oblicuas:
Las asíntotas oblicuas son del tipo $y=mx+k$, y, por tanto, incluyen - si las hubiese - las asíntotas horizontales. Empezamos calculando el valor de la pendiente: Por definición, $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,f'(x)$, o lo que es equivalente - forma que es más conveniente adoptar en este caso, por facilitar el cálculo, dada la naturaleza de la función - $$\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{x^3-1}{x^3}=\lim_{x \rightarrow \infty}\,(1-\dfrac{1}{x^3})=1-0=1$$
A continuación, calculamos la ordenada en el origen, $k$, que por definición es igual al valor del siguiente límite $$k=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,( f(x)-m\,x)=\lim_{x \rightarrow \infty}\,( \dfrac{x^3-1}{x^2}-1 \cdot x) = \lim_{x \rightarrow \infty}\,( \dfrac{x^3-1-x^3}{x^2})=\lim_{x \rightarrow \infty}\,( \dfrac{1}{x^2})=0$$ por consiguiente, hay una sóla asíntota vertical, de ecuación $y=x$
x) Gráfica de la función:
Reuniendo los elementos analizados podemos dibujar el siguiente trazo
b)
La familia de funciones primitivas ( integral indefinida ) de $g(x)$ viene dada por $\displaystyle \int \, \left( \dfrac{x^3-1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\right)\,dx=\int\,\left( \dfrac{x^3}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\right)\,dx=\int\,\dfrac{x^3}{x^2}\,dx$
$=\int\,x\,dx=\dfrac{1}{2}\,x^2 + C$ ( Primer Teorema Fundamental del Cálculo ), donde $C$ es la constante de integración. Asignando un valor cualquiera a dicha constante, tenemos una función primitiva, tal como se pide en el enunciado; por ejemplo, si $C:=0$, podemos dar como resultado: $\dfrac{1}{2}\,x^2$
c)
Por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, y siendo $G(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2$ ( apartado anterior ), $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,g(x)\,dx=G(1)-G(-1)=\dfrac{1}{2}\cdot 1^2-\dfrac{1}{2}\cdot (-1)^2=0$$
Nota: al ser simétrico el dominio de integración y por ser la función integrando, $g(x)$, una función impar, podríamos habernos ahorrado el cálculo y afirmar, por ello, que la integral definida es cero. $\square$
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