Determinar las asíntotas de la función ...

ENUNCIADO:
Determinar las rectas asíntotas de la función $$f(x)=\dfrac{x^3+x^2+x+1}{x}$$

SOLUCIÓN:
Las rectas asíntotas perpendiculares al eje de abscisas, de ecuación $x=k$, cumplen la siguiente condición $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow k}\,f(x)= \pm \infty$$ Observemos que $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,f(x)= -\infty$$ y $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,f(x)= +\infty$$ encontrando, pues, una recta asíntota ( vertical ) de ecuación $x=0$. Nota: observemos que en $x=0$, la función presenta problemas de definición al anularse ( para dicho valor ) el denominador ( y no el numerador ).

Las recta asíntotas oblícuas ( entre las cuales incluimos las horizontales ) tienen por ecuación $y=mx+k$. La pendiente $m$ se determina mediante el límite $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$ ( la recta asíntota es tangente a la gráfica de la función en el infinito ), que lo mismo que $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$; y, una vez conocido dicho valor, podemos calcular la ordenada en el origen $k$ despejándola de la ecuación ( de la recta asíntota ) a la vez que pasamos al límite ( por operar en el infinito): $\displaystyle k=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\left( f(x)-mx \right)$. Observemos que el límite que nos da el valor de $m$ diverge; en efecto, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,f'(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,(2x+1-\dfrac{1}{x^2})=\infty$, por lo cual concluimos que no existen asíntotas oblícuas. $\square$

[nota del autor]