Dibujar la gráfica de la siguiente función y describir los elementos del análisis de la misma

ENUNCIADO:
Dibujar la gráfica de la función $f(x)=(x-1)^3+2$ empleando transformaciones geométricas de la gráfica de la parábola semicúbica $y=x^3$. A continuación, y a la vista del gráfico, hacer una descripción de los siguientes elementos de dicha función: dominio de existencia y recorrido, raíces, ordenada en el origen, puntos de inflexión, extremos relativos, intervalos de crecimiento/decrecimiento, intervalos de concavidad/convexidad, etcétera.

SOLUCIÓN:

a) Al tratarse de una función polinómica, $D_f=\mathbb{R}$ y $\text{Recorrido}_f=\mathbb{R}$; es continua en todos los puntos de su dominio de existencia - y por tanto no tiene asíntotas -, y es derivable en todos los puntos de su dominio de existencia ( Nota: Para darnos cuenta de lo que acabamos de decir, no es necesario visualizar la gráfica ).

Procedemos, ahora, a realizar la representación gráfica, tal como se nos ha indicado en el enunciado:

1º) Gráfica de $y=x^3$ ( parábola semicúbica centrada en el origen de coordenadas )

2º) Gráfica del trazo anterior, trasladado una unidad a la derecha, en la dirección del eje de abscisas

3º) Gráfica del trazo anterior, trasladado dos unidades en la dirección del eje de ordenadas ( en el sentido positivo )

Describiendo la gráfica resultante ( la última ), podemos afirmar que:

b) La función tiene una única raíz, en el intervalo $[-0'5,0]$
c) Tiene un punto de inflexión en el punto $(1,2)$
d) No tiene extremos relativos
e) La función es creciente en todo los puntos de su dominio de definición
f) Es cóncava en el intervalo $(-\infty\,,\,1)$
g) Es convexa en el intervalo $(1\,,\,+\infty)$

$\square$

[nota del autor]