Demostrar que la siguiente función tiene una sóla raíz ...

ENUNCIADO:
Demostrar que la función $f(x)=x^5-5$ tiene exactamente una raíz, sin calcularla explícitamente.

SOLUCIÓN:
La función dada es de tipo polinómico y, por tanto, su dominio de definición es toda la recta real. Veamos si tiene extremos relativos. La condición necesaria para la existencia de dichos puntos es $f'(x)=0$; luego, derivando e igualando a cero: $5x^4=0$, de donde se sigue que sólo hay un extremo relativo: $x=0$. Si empleamos el criterio de la segunda derivada, nos encontramos que en este caso no decide, ya que al ser $f''(x)=20\,x^3$, $f''(0)=0$ ( no es ni positiva ni negativa ). Recurrimos por tanto al criterio de la primera derivada, encontrando que $\text{signo}(f'(0^{-}))=\text{signo}(f'(-1))=\text{signo}(5)$, que es positivo; y $\text{signo}(f'(0^{+}))=\text{signo}(f'(+1))=\text{signo}(5)$, que también es positivo; por tanto, la abscisa $x=0$ corresponde a un punto de inflexión de la gráfica de $f(x)$, luego ésta no puede cortar al eje de abscisas en más de un punto, con lo cual, podemos afirmar que de tener $f(x)$ alguna raíz, sólo puede ser una. Veamos ahora si existe dicha raíz: observemos que $f(1) \prec 0 $ y $f(2) \succ 0$, luego por el Teorema de Bolzano ( $f$ es continua y derivable, en este caso, en todo el dominio de definición ), la gráfica de $f$ corta al eje de abscisas entre $x=1$ y $x=2$. Y por lo dicho anteriormente, este punto de corte tiene que ser único; es decir, $f(x)$ tiene una única raíz ( exactamente una raíz ). $\square$

[nota del autor]