Derivadas de las funciones $e^x$ y $\ln{x}$

ENUNCIADO:
Justificar que la derivada de la función $f(x)=e^x$ es la propia función exponencial; y que, teniendo en cuenta este resultado, la derivada de la función $\ln(x)$ es $\dfrac{1}{x}$

SOLUCIÓN:
(1)
Por la definición de derivada $$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ tenemos que $$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{e^{x+\Delta x}-e^{\Delta x}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{e^{x}\,e^{\Delta x}-e^{\Delta x}}{\Delta x}=e^{x}\,\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}$$ al pasar ahora al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $\dfrac{0}{0}$, que deshacemos teniendo en cuenta que $e^{\Delta x}-1$ y $\Delta x$ son infinitésimos equivalentes, con lo cual el valor del límite es $1$, y, por tanto, obtenemos $f'(x)=e^x$, como queríamos probar.

(2)
Teniendo en cuenta, ahora, este resultado, vamos a probar que $(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$. En efecto, las funciones $\ln{x}$ y $e^{x}$ son mutuamente recíprocas; esto es, si $y=e^x$, entonces $x=\ln{y}$. Y, por la propiedad de la derivada de la función recíproca, $x'_y=\dfrac{1}{y'_x}$, y, por tanto, $x'_y=\dfrac{1}{(e^x)'}=\dfrac{1}{e^x}=\dfrac{1}{e^{\ln{y}}}=\dfrac{1}{x}$
$\square$

[nota del autor]