Decir razonadamente si la función dada es continua y derivable en el siguiente punto ...

ENUNCIADO:
Decir, razonadamente, si la función $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2& \text{si}&x \le 1 \\
1& \text{si}&x = 1 \\
\end{matrix}\right.$$
es:
a) continua en el punto de abscisa $x=1$
b) derivable en el punto de abscisa $x=1$

SOLUCIÓN:
Representando la función definida a trozos, obtenemos la siguiente gráfica

con lo cual, la respuesta a la primera pregunta es afirmativa, por ser dicho trazo continuo. En cuanto a la segunda pregunta, la respuesta es NO. En efecto, la pendiente de la recta tangente al trazo a la izquierda de $x=1$ ( tramo de parábola ) en el punto $(1,f(1))$ es $f'(1)=2x |_{x=1}=2\cdot 1 = 2$; sin embargo, la pendiente de la recta tangente a la derecha de $x=1$ es $0$, por tratarse de un tramo con ordenada constante. Así, al no coincidir en dicho punto ambas pendientes de las respectivas rectas tangentes, podemos afirmar que no existe la derivada en dicho punto. $\square$

[nota del autor]