Calcular la integral indefinida ...

ENUNCIADO:
A partir del Primer Teorema Fundamental del Cálculo, calcular la familia de primitivas de la función $f(x)=(x+1)^2$

SOLUCIÓN:
Se nos pide que calculemos la integral indefinida $\int \, f(x)dx$; para ello, debemos encontrar una función $F(x)$ tal que $F'(x)=f(x)$; y, por tanto, $(F(x)+C)'=f(x)$, por ser $C$ una constante arbitraria. Daremos, pues, como respuesta: $F(x)+C$. Vamos a calcularlo:

Haciendo el cambio de variable $u=x+1$ y derivando respecto de $x$: $u'=(x+1)'=1$, luego $\dfrac{du}{dx}=1$; esto es, $du=dx$. Así, $\int \, f(x)dx=\int\,u^2\,du=\dfrac{1}{3}\,u^3+C$; y, deshaciendo el cambio de variable, encontramos que la integral pedida es $\dfrac{1}{3}\,(x+1)^3+C$, donde $C$ es una constante arbitraria.

Comprobación:
$\left( \dfrac{1}{3}\,(x+1)^3+C\right)'=\dfrac{1}{3}\cdot 3 (x+1)^2+0=(x+1)^2$

$\square$

[nota del autor]