Sea la variable aleatoria normal $X \sim N(2\,,\,1'5)$. Se pide: a) El valor de la abscisa $a$ tal que $P\{|X| \le a \}=0'4500$ b) El valor de la abscisa $b$ tal que $P\{|X| \ge b \}=0'3000$ c) $P\{|X+2| \le 1 \}$ d) $P\{|X-2| \ge 1 \}$

Enunciado:
Sea la variable aleatoria normal $X \sim N(2\,,\,1'5)$. Se pide:
    a) El valor de la abscisa $a$ tal que $P\{|X| \le a \}=0'4500$
    b) El valor de la abscisa $b$ tal que $P\{|X| \ge b \}=0'3000$
    c) $P\{|X+2| \le 1 \}$
    d) $P\{|X-2| \ge 1 \}$

Resolución:
(a)
$P\{|X| \le a \}=0'4500$
tipificando la variables, podemos escribir lo anterior de la forma
    $P\{|Z| \le \dfrac{a-2}{1'5} \}=0'4500 \Rightarrow P\{Z \ge \dfrac{a-2}{1'5} \}=\dfrac{1-0'4500}{2}=0'2750$ ( probabilidad de la cola derecha )
por lo tanto
    $P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}=1-0'2750=0'7250$
y consultando las tablas de la función de distribución de $Z \sim N(0,1)$ encontramos
    $\dfrac{a-2}{1'5}\approx 0'60$, de donde obtenemos $a \approx 0'60\cdot 1'5 + 2 = 2'90$

Otra manera de hacerlo:

$P\{|X| \le a \}=0'4500$
  $P\{-a \le X \le a \}=0'4500$
    $P\{X \le a \}-P\{X \le -a \}=0'4500$
    $P\{X \le a \}-P\{-X \ge a \}=0'4500$
tipificando la variable, $Z = \dfrac{X-2}{1'5}$, podemos escribir lo anterior de la forma
    $P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-P\{-Z \ge \dfrac{a-2}{1'5} \}=0'4500$
    $P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-P\{Z \le -\dfrac{a-2}{1'5} \}=0'4500$
    $P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-P\{Z \ge \dfrac{a-2}{1'5} \}=0'4500$
    $P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-(1-P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \})=0'4500$
              $2\,P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-1=0'4500$
                $P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}=F(\dfrac{a-2}{1'5})=\dfrac{1+0'4500}{2}=0'7250$
y de las tablas de la función de distribución $Z \sim N(0,1)$ vemos que
                $\dfrac{a-2}{1'5} \approx 0'60$ con lo cual $a\approx 1'5\cdot 0'60+2=2'90$

(b)
$P\{|X| \ge b \}=0'3000 \Rightarrow P\{|X| \le b \}=1-0'3000=0'7000$
tipificando la variables, podemos escribir lo anterior de la forma
    $P\{|Z| \le \dfrac{b-2}{1'5} \}=0'7000 \Rightarrow P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}=\dfrac{1-0'7000}{2}=0'1500$ ( probabilidad de la cola derecha )
por lo tanto
    $P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \}=1-0'1500=0'8500$
y consultando las tablas de la función de distribución de $Z \sim N(0,1)$ encontramos
    $\dfrac{b-2}{1'5}\approx 1'04$, de donde obtenemos $b \approx 1'04 \cdot 1'5 + 2 = 3'56$

Otra manera de hacerlo:

$P\{|X| \ge b \}=0'3000$
  $P\{X \ge b \}+P\{X \le -b \}=0'3000$
    $P\{X \ge b \}+P\{-X \ge b \}=0'3000$
tipificando la variable, $Z = \dfrac{X-2}{1'5}$, podemos escribir lo anterior de la forma
    $P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}+P\{-Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}=0'3000$
    $P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}+P\{Z \le -\dfrac{b-2}{1'5} \}=0'3000$
    $P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}+P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}=0'3000$
    $(1-P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \})+(1-P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \})=0'3000$
    $2\,(1-P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \})=0'3000$
    $1-P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \}=0'1500$
    $P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \}=F(\dfrac{b-2}{1'5})=1-0'1500=0'8500$
y de las tablas de la función de distribución $Z \sim N(0,1)$ encontramos
                $\dfrac{b-2}{1'5} \approx 1'04$ con lo cual $b \approx 1'5\cdot 1'04+2=3'56$

(c)
$P\{|X+2| \le 1 \}$
  $=P\{-1 \le X+2 \le 1 \}$
    $=P\{-1 - 2\le X \le 1 - 2 \}=P\{-3 \le X \le -1\}$
      $=P\{\dfrac{-3-2}{1'5} \le \dfrac{X-2}{1'5} \le \dfrac{-1-2}{1'5}\}$
        $= P\{ -\dfrac{10}{3} \le Z \le -2 \}=P\{Z\le -2\}-P\{Z\le -\dfrac{10}{3}\}$
          $=P\{Z\ge 2\}-P\{Z\ge \dfrac{10}{3}\}$
            $= (1-P\{Z\le 2\})-(1-P\{Z\le \dfrac{10}{3}\})=P\{Z \le \dfrac{10}{3}\})-P\{Z\le 2\})$
            $=F(\dfrac{10}{3})-F(2) \approx 1 - 097772 = 0'0228$


(d)
$P\{|X-2| \le 1 \}$
  $=P\{-1 \le X-2 \le 1 \}$
    $=P\{-1 + 2 \le X \le 1 + 2 \}=P\{1 \le X \le 3\}$
    $=P\{X \le 3\}-P\{X \le 1\}$
tipificando:
    $=P\{Z \le \dfrac{3-2}{1'5}\}-P\{Z \le \dfrac{1-2}{1'5}\}$
    $=P\{Z \le \dfrac{2}{3}\}-P\{Z \le -\dfrac{2}{3}\}$
    $=P\{Z \le \dfrac{2}{3}\}-P\{Z \ge +\dfrac{2}{3}\}$
    $=P\{Z \le \dfrac{2}{3}\}-(1-P\{Z \le +\dfrac{2}{3}\})$
    $=2\,P\{Z \le \dfrac{2}{3}\}-1$
    $=2\,F(\dfrac{2}{3})-1$
    $=2\cdot 0'7486-1=0'4972$

$\blacksquare$

[nota del autor]