Determínese la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x)=-x^2+5$ en el punto de abscisa igual a $2$

Encunciado:
Determínese la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x)=-x^2+5$ en el punto de abscisa igual a $2$

Resolución:
La ecuación en forma explícita de la recta tangente pedida
$\text{r.t.}:\,y=m\,x+k$

Debemos calcular, por tanto, el valor los coeficientes $m$ (pendiente) y $k$ (ordenada en el origen); para ello, tenemos en cuenta que: a) la pendiente $m$ es igual al valor de la derivada de la función en el punto P de abscisa dada (significado geométrico de la derivada), y b) las ordenadas de la recta tangente y de la función que describe la curva deben tener el mismo valor en el punt de tangencia.

a) La función derivada se obtiene aplicando las reglas de derivación:
        $f^{'}(x)=-2\,x$
que en el punt P de abscisa $x=2$ toma el valor
        $f^{'}(2)=-4$
el cual se corresponde con el valor de la pendiente de la recta tangente, $m$

b) En el punt de tangencia P, de abscisa $x=2$ ( punto de contacto entre la recta y la curva) la ordenada de la función que describe la curva ha de ser igual a la ordenada de la la función correspondiente que describe la recta tangente.

La ordenada de P, por la funció $f(x)$, es igual a
        $f(2)=-2^2+5$
                  $=1 \quad \quad \quad \quad \quad (1)$
Y, de acuerdo con la ecuación de la recta, la ordenada de P es igual a
        $2\,m+k$
y, puesto que $m=-4$, queda igual a
        $2\,(-4)+k \quad \quad \quad \quad (2)$

Igualando (1) y (2)
        $-8+k = 1$
d'aquí, encontramos el valor de la ordenada en el origen de la recta tangente
        $k = 9$

Finalment, pues, podem concretar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P:
        $\text{r.t.}:\,y=-4\,x+9$

$\square$

[nota del autor]