Analizar y representar gráficamente la siguiente función $f(x)=x\,e^x$

Enunciado:
Analizar y representar gráficamente la siguiente función $f(x)=x\,e^x$

Resolución:

Dominio de definición:
$D_f=\mathbb{R}$

Dominio de continuidad: $\mathbb{R}$


Raíces de $f$:
$x:f(x)=0$, $x\,e^x=0 \Leftrightarrow x=0$

Ordenada en el origen de $f$:
$f(0)=0$

Extremos relativos de $f$:
$x:f'(x)=0$
$(x+1)\,e^x=0 \Leftrightarrow x=-1$, abscisa que corresponde a un mínimo relativo, pues $f''(x)=(x+2)\,e^x$ y $f''(-1)=\dfrac{1}{e} \succ 0$. La ordenada correspondiente a la abscisa de dicho mínimo es $f(-1)=-e^{-1}=-\dfrac{1}{e}$, , luego hay un único mínimo local $M\big(-1\,,\,-\dfrac{1}{e}\big)$ ( es, además, el mínimo absoluto de la función ).

Hay un único intervalo de decrecimiento de $f$:
$(-\infty,-1)$

Hay un único intervalo de crecimiento de $f$:
$(-1,+\infty)$

Puntos de inflexión:
$x:f''(x)=0$
$(x+2)\,e^x=0 \Leftrightarrow x=-2$, con ordenada $f(-2)=-2\,e^{-2}=-\dfrac{2}{e^2}$, luego hay un único punto de inflexión $I\big(-2\,,\,-\dfrac{2}{e^2}\big)$

Hay un único intervalo de concavidad: $(-\infty,-2)$

Hay un único intervalo de convexidad: $(-2,+\infty)$

Tendencia de la función para $x \rightarrow \pm \infty$:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty}\,(x+1)\,e^x=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty}\,(x+1)\,e^x=0$, luego el eje de abscisas es una asíntota horizontal ( puede comprobarse que no hay otras asíntotas ).

Rango o recorrido de la función $f$:   $\text{Rec}_f=(-\dfrac{1}{e},+\infty)\subset \mathbb{R}$ ( el mínimo local que hemos encontrado es, también, el mínimo absoluto de la función ).

$\blacksquare$

[nota del autor]