Aplicar las reglas de derivación para determinar la función derivada de cada una de las siguientes funciones ...

Enunciado:
Aplicar las reglas de derivación para determinar la función derivada de cada una de las siguientes funciones:

    a) $f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}$

    b) $f(x)=(x^3+x+1)^5$

    c) $f(x)=x\,e^x$

    d) $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$

    e) $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$

    f) $f(x)=x^x$

Resolución:
a)
$f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}=(x^2+1)^{\frac{1}{3}}$, luego por la regla de derivación de las funciones potenciales junto con la regla de la cadena: $f'(x)=\dfrac{1}{3}\,(x^2+1)^{\frac{1}{3}-1}\cdot (x^2+1)'=\dfrac{1}{3}\,(x^2+1)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x=\dfrac{2}{3}\,\dfrac{x}{\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}$

b)
Siendo $f(x)=(x^3+x+1)^5$ entonces, aplicando la regla de derivación de las funciones polinómicas junto con la regla de la cadena, podemos escribir, $f'(x)=5(x^3+x+1)^{4}\,(x^3+x+1)'=5(x^3+x+1)^{4}\,(3x^2+1)$

c)
En este caso, $f(x)=x\,e^x$, debemos aplicar la regla de derivación del producto de funciones: $f'(x)=(x)'\,e^{x}+x\,(e^x)'=1\cdot e^x+x\,e^x= (1+x)\,e^x$

d)
Este caso es parecido al anterior, pues, $f(x)=\dfrac{e^x}{x}=x^{-1}\,e^{x}$, luego aplicando la siguientes reglas: derivada del producto, derivada de la cadena, y derivada de las funciones potenciales, podemos escribir: $f'(x)=(x^{-1})'\,e^{x}+(x^{-1})\,(e^x)'=-x^{-2}\cdot e^x+x^{-1}\,(e^x)'$
        $=-\dfrac{1}{x^2} \cdot e^x+\dfrac{1}{x}\,e^x=\dfrac{-e^x+x\,e^x}{x^2}=\dfrac{(x-1)\,e^x}{x^2}$

e)
Podemos expresar $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$ de la forma $f(x)=x^{-3}$, al objeto de aplicar la regla de derivación de las funciones potenciales, con lo cual, $f'(x)=-x^{-2-1}=-\dfrac{1}{x^3}$

f)
Por comodidad, utilicemos la notación $y=x^x$. Sacando, ahora, logaritmos en cada miembro: $\ln{y}=x\,\ln{x}$, y, utilizando las reglas de derivación de la cadena ( primer miembro, ya que $y$, es función de $x$ ) y del producto junto con la regla de la cadena ( segundo miembro ), llegando a $\dfrac{1}{y_x}\,y'_x=(x)'\,\ln{x}+x\,(\ln{x})'$. Es decir, $y'_x = \big( 1\cdot \ln{x}+x\,(\ln{x})' \big)\cdot y_x$, o en otras palabras: $f'(x)=( \ln{x}+x\,\dfrac{1}{x} )\,x^x$, y, simplificando: $f'(x)=( \ln{x}+1 )\,x^x$

$\blacksquare$

[nota del autor]