Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la función $f(x)=x^4$ en el punto de abscisa $x=-1$.

Enunciado:
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la función $f(x)=x^4$ en el punto de abscisa $x=-1$.

Resolución:
La ecuación en forma explícita de la recta tangente a la curva dada por $f(x)$ en un punto $P$ de abscisa $x_P$ de su dominio de definición viene dada por $\text{r.t.:}\,y=m_P\,x+k_P \quad (1)$ donde, com es bien conocido, $m_P$ representa la pendiente de dicha recta y $k_P$ la ordenada en el origen.

Procedemos en dos pasos:

(1)
Obtenemos la pendiente $m_P$ teniendo en cuenta el significado geométrico de la derivada de una función en un punto $P$, esto es, $m_P=f'(x_P)$. Como $f'(x)=4\,x^3$ y $f'(-1)=4\,(-1)^3=-4$, entonces $m_P=-4$

(2)
Conociendo ya el valor de la pendiente, obtendremos el valor de la ordenada en el origen $k_P$ teniendo en cuenta que la ordenada de la función $f(x)$ en el punto $P$, $f(x_P)$, debe tener el mismo valor la ordenada de la función que corresponde a la recta tangente en dicho punto, $y_P=m_P\,x_P+k$; por lo tanto, podremos escribir que $f(x_P)=m_P\,x_P+k_P$, ecuación en la que la incógnita es $k_P$. Así, pues, $(-1)^4=-4\cdot (-1)+k_P$, y de aquí, despejando $k_P$ se obtiene: $k_P=1-4=-3$.

Entonces ( de (1) ) podemos escribir la ecuación pedida, que es $\text{r.t.:}\,y=-4\,x-3$

$\blacksquare$

[nota del autor]