Un ejercicio sobre continuidad y derivabilidad

Enunciado:
Sea la siguiente función definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2-4x+3 \quad \text{si} \quad x\prec1 \\ \\ -x^2+4x-3 \quad \text{si} \quad x\ge 1 \\ \end{matrix}\right.$$
Estudiar su continuidad y su derivabilidad. Representar gráficamente la función.

Resolución:

Continuidad:
Ambos tramos de la función definida a trozos son funciones continuas, por ser polinómicos; sin embargo, podría haber una discontinuidad en el punto de abascisa $x=1$, que es donde acaba un tramo y empieza el otro. Veamos: en primer lugar, vemos que la función está bien definida en $x=1$ ( condición necesaria para que la función sea continua ), pero, además, debe cumplirse que los límites laterales existan ( existen ) y que sus valores coincida. Veamos si se cumple eso último: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\,f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\,x^2-4x+3=1^2-4\cdot 1+3=0$ y en cuanto al otro límite lateral, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\,f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\,-x^2+4x-3=-1^2-4\cdot 1-3=-1+4-3=0$, luego ambos límites coinciden, luego la función es continua, también, en $x=1$, luego es continua en todo su dominio de existencia, que es $D_f=\mathbb{R}$

Derivabilidad:
El que una función sea continua en un punto, no es suficiente para que pueda afirmarse que también es derivable en el mismo; precisamente, vamos a observar eso mismo en este ejercicio. Veamos, para que sea derivable en un punto, al definirse la derivada en un punto como un límite, $f'(x)=\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$, o en otras palabras, como $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ( siendo $h$, por comodidad, el infinitésimo $\Delta x$ ), existe si y sólo si existen los límites laterales ( derivadas laterales ): $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ y $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ y sus valores coinciden en el punto en cuestión. Entonces, como la derivada por la izquierda es $(x^2-4x+3)'=2x-4$, con lo cual, en el punto de abscisa $x=1$ toma como valor $2\cdot 1-4=-2$, y, la derivada por derecha es $(-x^2+4x-3)'=-2x+4$ y su valor en $x=1$ es $-2\cdot 1+4=2$, al no coincidir dichos valores, podemos afirmar que la función no es derivable en $x=1$, aunque es derivable en todos los demás puntos de su dominio de existencia.

Gráfica de la función:


El gráfico de la función definida a trozos es el siguiente



$\square$