Calcular la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+x+1}\,dx$

Enunciado:
Calcular la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+x+1}\,dx$

Solución:
La función del integrando es de tipo racional y su polinomio tiene raíces complejas, con lo cual no podemos descomponer la función
    $\dfrac{1}{x^2+x+1}$
en suma de funciones racionales, que sería la vía estándar a seguir.
Esto nos lleva a probar otro camino de resolución alternativo, que es la siguiente. Podemos expresar el polinomio del denominador de la fracción racional del integrando de siguiente forma
    $x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2-\dfrac{1}{4}+1$
que es igual a
    $x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}$
luego la función del integrando se puede escribir de la forma
    $\dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}$
y, por tanto, la integral objetivo es igual a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}\,dx$
y haciendo el cambio de variable
    $x+\dfrac{1}{2}= t$
llegamos a
    $\displaystyle \int \, \frac{1}{t^2+\dfrac{3}{4}}\,dt=\int \, \dfrac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\,t^2+\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}}\,dt=\frac{4}{3}\,\int \, \dfrac{1}{\big(\frac{2\,t}{\sqrt{3}}\big)^2+1} \,dt$
y, a su vez, haciendo un segundo cambio
    $w=\frac{2\,t}{\sqrt{3}}$
nos queda
    $\displaystyle \frac{4}{3}\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\int \, \dfrac{1}{w^2+1} \,dw$
que es igual a
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,w+C_1$
Habiendo resuelto ya el problema de integración, procedemos ahora a deshacer los cambios de variable por orden inverso a los pasos realizados, llegando a
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,t}{\sqrt{3}} +C_2$
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,(x+\frac{1}{2}}{\sqrt{3}} +C$
es decir
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,x+1}{\sqrt{3}} +C$
que es igual a la familia de primitivas de la función del integrando.
$\square$

[nota del autor]