Encontrar las rectas asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$, representarlas gráficamente y hacer un bosquejo de la gráfica de la función $f(x)$.

Enunciado:
Encontrar las rectas asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$, representarlas gráficamente y hacer un bosquejo de la gráfica de la función $f(x)$.

Resolución:

(1)
Las rectas asíntotas verticales vienen dadas de la forma $\text{a.v.:\,x=k}$ donde $k$ representa el valor de las abscisas que anulan el denominador de la función ( sin anular el numerador ); en nuestro caso, ésto ocurre para $x=0$, luego encontramos una única asíntota vertical: $\text{a.v.:\,x=0}$

(2)
Las rectas asíntotas oblícuas ( incluimos en ellas a las posibles a. horizontales ) son de la forma $\text{a.o.:}\,y=m\,x+k$ ( ecuación en forma explícita de dichas rectas ). Así, pues, debemos determinar las pendientes y las ordenadas en el origen de dichas rectas ( si dicha función las tiene ). Determinaremos, primero, el valor de $m$, y, a partir de ello, las ordenadas en el origen correspondientes; todo ello, pasando al límite cuando $x \rightarrow \pm \infty$ ( por el significado de contacto asintótico ). Procedamos:

(2.1) Cálculo de $m$:
$\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,f'(x)$ o, de manera equivalente, $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$ ( por operar a distancia infinita del origen de coordenadas ), definición equivalente que, en este ejercicio, resulta bastante cómodo utilizar por la comodidad de cálculo que representa. Entonces,
$\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{\frac{x^2+1}{x}}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{x^2+1}{x^2}=1$, ya que, por ser del mismo grado los polinomios del numerador y del denominador, el resultado del límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado de uno y otro, que son, ambos, iguales a $1$. Notemos que hay una única recta oblícua.

(2.2) Cálculo de $k$:
Conociendo ya el valor de la pendiente, que es $m=1$, podemos, ahora, calcular el valor de la ordenada en el origen $k$. Como continuamos operando a distancia infinita del origen de coordenadas, debemos involucrar el paso al límite en dicho cálculo; así, podemos despejar $k$ de la ecuación de la recta en forma explícita, $y=mx+k$, donde $y$ de dicha recta coincide con $f(x)$, pero, cuidado, pasando al límite a su vez: $k=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(f(x)-m\,x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(\dfrac{x^2+1}{x}-1\cdot x)$, y, operando obtenemos, $k=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(\dfrac{1}{x^2})=1/\infty=0$. Así, pues, solamente hay una recta oblícua: $\text{a.o.:}\,y=1\cdot x+0=x$, esto es, la bisectriz del primer y del tercer cuadrantes.

A partir de la información que hemos sacado de (1) y (2) podemos ya dibujar un esquema del trazo de la curva correspondiente a la función dada, que es el siguiente:

$\blacksquare$

[nota del autor]