Estudiar la función $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$

Enunciado:
Estudiar la función $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$ y representarla gráficamente a partir del resultado del análisis.

Resolución:
Dominio de definición:
$D_f=\mathbb{R}$, ya que el denominador no se anula para ningún
valor de $x$, y, por tanto todos los números reales tienen imagen.

Raíces de la función ( abscisas de los puntos de corte con el eje $Ox$):
raíces=$\{x:f(x)=0\}$; imponiendo la condición, $\dfrac{x^2}{x^2+1}=0 \Leftrightarrow x=0$, luego sólo hay una raiz: $x=0$; su ordenada en el origen es $f(0)=0$, por tanto, el trazo de la función pasa por el origen de coordenadas.

Extremos relativos ( máximos y mínimos locales o relativos ):
Para encontrar los extremos relativos ( máximos y mínomos locales ) debemos encontrar los valores de $x$ ( abscisas de dichos puntos ) que cumplen $f'(x)=0$ -- por este motivo, se llaman, también, puntos estacionarios --. Como $f'(x)=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$, esta función es nula si y sólo si $x=0$, luego sólo hay un extremo relativo, cuya abscisa coincide con la raiz de $f(x)$ y su ordenada es $f(0)=0$, luego el punto del plano que corresponde a dicho extremo relativo es el origen de coordenadas $O(0,0)$, con lo cual vemos que su naturaleza no puede ser otra que la de mínimo local, pues, la función es positiva para todo valor de $x$ de su dominio de existencia ( las ordenadas de la función son todas positivas ), y es, además, el mínimo absoluto, habida cuenta que $f(x)$ no puede tomar valores negativos y, por tanto, valores menores que la ordenada de dicho mínimo local, que es $0$. Así, vemos que el recorrido de la función ( conjunto de valores que toma la función ) es $\mathcal{R}_f=[0\,,\,1]$.

Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
$I^{\downarrow}=(-\infty\,,\,0)$ ( solamente hay un intervalo de decrecimiento )
$I^{\uparrow}=(0\,,\,+\infty)$ ( solamente hay un intervalo de crecimiento )

Asíntotas verticales: no hay ( no se anula el denominador para ningún valor de $x$ )

asíntotas oblícuas:
Las asíntotas oblícuas, como rectas que son, tienen ecuación $y=m\,x+k$. Veamos, en primer lugar, cuál es la pendiente $m$; $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$ o, lo que es lo mismo (propiedad), $\displaystyle m \underset{def}{=}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$, y, haciendo el cálculo: $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{\frac{x^2}{x^2+1}}{x}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{x^2}{x^3+1}=0$ ( por ser el grado del denominador mayor que el del numerador ).

Una vez conocido el valor de la pendiente, $m=0$ ( recta horizontal ), calculamos el valor de la ordenada en el origen de la ( sólo hay una ) recta asíntota; para ello, despejamos el valor de $k$ de la ecuación de la recta, a la vez que pasamos al límite:

$\displaystyle k \underset{def}{=}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,(y-m\,x)$, esto es, $\displaystyle k=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,(f(x)-m\,x)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,(\dfrac{x^2}{x^2+1}-0\,x)=1$, concluyendo que $\text{r.h.:}\,y=1$

Con todos los elementos de análisis, hasta ahora recogidos, podemos ya perfilar la trazo de la función y es el siguiente ( figura ):

Puntos de inflexión:
La curva ( el trazo de la función ) cambia el signo de la curvatura en dos puntos ( A y B en el gráfico ); procedemos, ahora a calcular sus coordenadas:

Los valores del dominio de existencia en los que la curvatura cambia de signo cumplen la condición necesaria $f''(x)=0$, así, pues, determinamos, primero, la función segunda derivada, que es $f''(x)=2\,\dfrac{(x^2+1)(1-3\,x^2)}{(x^2+1)^4}$ ( se deja al alumno la comprobación de dicho resultado ), y, a continuación, imponemos la condición necesaria, viendo que $f''(x)=0$ si y sólo si $x_B=-\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}$ ( abscisa del punto de inflexión $B$ ) o bien si $x_A=\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}$ (abscisa del punto de inflexión $A$ ). Las ordenadas respectivas se calculan determinando la imagen de dichas abscisas: $y_B=f \big( -\dfrac{1}{|\sqrt{3}|} \big)=\dfrac{1}{4}$ y $y_A=f \big( \dfrac{1}{|\sqrt{3}|} \big)=\dfrac{1}{4}$

Intervalos de concavidad y convexidad:
$I_{\text{concavidad}}=(-\infty\,,\,-\dfrac{1}{|\sqrt{3}|})$
$J_{\text{convexidad}}=(-\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\,,\,\dfrac{1}{|\sqrt{3}|})$
$K_{\text{concavidad}}=(\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\,,\,+\infty)$

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Comentario:
    Cabe hacer aquí un par de comentarios sobre la función que aparece en este ejercicio, $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$; en primer lugar, su forma recuerda a la de la función de densidad de probabilidad de Gauss, pero me gustaría hacer hincapié, ahora, en otra cosa: dicha función está relacionada con una curva muy famosa que describe el lugar geométrico ligado a un cierto "mecanismo", curva que fue estudiada ( entre otros matemáticos ) por Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) en uno de sus trabajos; esta curva tiene la siguiente ecuación ( en coordenadas cartesianas ): $y=\dfrac{1}{x^2+1}$ y se conoce con el curioso nombre de [ Bruja de Agnesi], debiéndose este nombre a un error de traducción del italiano al inglés que, sin ser subsanado, ha perdurado. Pues bien, el trazo de la función del ejercicio tiene la misma forma que dicha famosa curva. Observe el lector que haciendo dos transformaciones -- una reflexión respecto al eje $Ox$ seguida de una traslación en el sentido del eje $Oy$ --, llevamos la curva de la función que aparece en el ejercicio, $y=\dfrac{x^2}{x^2+1}$, a este otro trazo ( curva ): $-\dfrac{x^2}{x^2+1}+1 = \dfrac{1}{x^2+1}$, que es la curva de Agnesi.

$\square$

[nota del autor]